電荷と電場

勾配・回転とストークスの定理

著者：柚木芹香

本体の節で使った勾配 $\nabla$ ，回転 $\nabla \times$ ，ラプラシアン $\nabla^{2}$ を，熱の流れと水の流れを例にして定義します（発散 $\nabla \cdot$ とガウスの定理は前の題材の数学の節）．勾配と例題1は本体の電位に使います．回転から後は（発展）で，飛ばしてかまいません．熱は高温から低温へ流れ，単位時間に単位面積を通る熱（熱流束）は温度の傾きに比例するのでした（第18章）．

定理数学の道具：勾配と演算子 $\nabla$

温度 $T (x, y, z)$ の場で，近い2点の温度差は

Δ T = \frac{\partial T}{\partial x} Δ x + \frac{\partial T}{\partial y} Δ y + \frac{\partial T}{\partial z} Δ z = \nabla T \cdot Δ r, \nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z})

と書ける． $\nabla T$ を $T$ の勾配という． $\nabla T$ は $T$ が最も急に増える向きを向き，大きさはその向きの傾きで，等温面に垂直である．熱流束のベクトルは $h = - κ \nabla T$ （ $κ$ は熱伝導率）．演算子 $\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$ を使うと，勾配は $\nabla T$ ，発散は $\nabla \cdot h$ ，次に定義する回転は $\nabla \times v$ と書ける．

$| Δ r |$ を決めると，内積 $\nabla T \cdot Δ r$ は $Δ r$ が $\nabla T$ と同じ向きのとき最大で，等温面に沿う向きのとき0です．

定理数学の道具：勾配の線積分

どんな道すじに沿っても

\int_{A}^{B} \nabla ψ \cdot d r = ψ (B) - ψ (A)

である．とくに閉じた道を一周すると0になる．

道を小さな区間に分けると，各区間で $\nabla ψ \cdot Δ r = Δ ψ$ です．これを足すと途中の値が打ち消し合い，終点と始点の差だけが残ります．電位では $E = - \nabla V$ なので， $- \int_{A}^{B} E \cdot d r = V_{B} - V_{A}$ となり，本体の電位の定義と合っています．

回転と循環（発展）

水の流れの速度の場 $v$ について，閉じた道 $Γ$ に沿った一周の線積分 $\int_{Γ} v \cdot d r$ を循環といいます．流れが道に沿ってどれだけ回っているかの量です． $x y$ 平面の中に，辺が $Δ x, Δ y$ の小さな長方形をとり，反時計回りに一周します．下の辺と上の辺では $v_{x}$ だけが効き，向きが逆なので，合わせて $- \partial v_{x} / \partial y Δ y Δ x$ です．右の辺と左の辺からは $\partial v_{y} / \partial x Δ x Δ y$ が残ります．循環を面積で割ると $\partial v_{y} / \partial x - \partial v_{x} / \partial y$ で，長方形の大きさによりません．

定理数学の道具：回転

\nabla \times v = (\frac{\partial v_{z}}{\partial y} - \frac{\partial v_{y}}{\partial z}, \frac{\partial v_{x}}{\partial z} - \frac{\partial v_{z}}{\partial x}, \frac{\partial v_{y}}{\partial x} - \frac{\partial v_{x}}{\partial y})

を $v$ の回転という．単位ベクトル $n$ 方向の成分は， $n$ に垂直な小さな道を（ $n$ に対して右ねじの向きに）一周する循環を，道の囲む面積で割ったものである．

角速度 $ω$ で回る水 $v = ω (- y, x, 0)$ では $\nabla \times v = (0, 0, 2 ω)$ で，回転は角速度の2倍です．流線がまっすぐな $v = (a y, 0, 0)$ でも $\nabla \times v = (0, 0, - a)$ で，浮かべた小さな水車は回ります．反対に，栓のまわりの渦 $v = \frac{Γ_{0}}{2 π} \frac{(- y, x, 0)}{x^{2} + y^{2}}$ は，中心を除けば $\nabla \times v = 0$ で，水車は回りません．

［図：3つの流れに浮かべた水車］

初期状態は一様な回転で，水車は流れに運ばれながら自転する．ボタンで横にずれる流れと栓のまわりの渦に切り替え，時刻スライダーや再生と停止で位置と橙の目印の向きを比べる．栓のまわりでは中心以外の水車は自転しない．

定理数学の道具：ストークスの定理

閉じた道 $Γ$ と， $Γ$ を縁とする面 $S$ （法線 $n$ は道の向きに対して右ねじの向き）について

\int_{Γ} v \cdot d r = \int_{S} (\nabla \times v) \cdot n d S

面 $S$ を小さな網の目に分けると，各網目の循環は $(\nabla \times v) \cdot n Δ S$ です．全部を足すと，隣り合う網目の共通の辺は逆向きに2回通るので打ち消し合い，縁 $Γ$ の分だけが残ります．ガウスの定理と同じ仕組みです．

勾配の回転は0（発展）

$\nabla \times \nabla ψ$ の $z$ 成分は $\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial ψ}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial ψ}{\partial x} = 0$ で，偏微分の順序を入れ替えてよいので0です．ほかの成分も同じで

\nabla \times \nabla ψ = 0

です．逆に，穴のない領域で $\nabla \times E = 0$ なら，どんな閉じた道にもそれを縁とする面が張れるので，一周の線積分は0で，電位が作れます．第6章で保存力の判定に使った $\partial F_{x} / \partial y = \partial F_{y} / \partial x$ は， $\nabla \times F$ の $z$ 成分が0という条件でした．栓のまわりの渦は，中心という穴を囲むと循環が $Γ_{0}$ になり，穴のない領域という条件が要ることを示しています．同じ計算で $\nabla \cdot \nabla \times v = 0$ も出ます．

ラプラシアン（発展）

勾配の発散を $\nabla^{2} ψ = \nabla \cdot \nabla ψ = \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z^{2}}$ と書き，ラプラシアンといいます．熱源のない物体の定常な温度では，どの小さな体積からも熱が出入りしないので $\nabla \cdot h = 0$ ，つまり $\nabla^{2} T = 0$ です．電荷のない所の電位と同じ式なので，同じ形の境界なら同じ形の解になります．

1次元では $ψ^{″} (x) \approx \frac{ψ (x + h) + ψ (x - h) - 2 ψ (x)}{h^{2}}$ なので，3次元では $\nabla^{2} ψ \approx \frac{6}{h^{2}} (前後・左右・上下の6点の平均 - ψ (x, y, z))$ です． $\nabla^{2} ψ = 0$ なら，どの点の値もまわりの平均に等しく，極大も極小もありません．

球対称な $V (r)$ では， $\nabla V = d V / d r e_{r}$ の流束は半径 $r$ の球面で $4 π r^{2} d V / d r$ です．半径 $r$ と $r + d r$ の球面の流束の差を殻の体積 $4 π r^{2} d r$ で割ると，次の式が出ます．円筒対称でも同じようにして，軸からの距離 $r$ について右の式になります．

\nabla^{2} V = \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d V}{d r}) （球対称）, \nabla^{2} V = \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d V}{d r}) （円筒対称）

練習1　 $k = 1 / (4 π ε_{0})$ とする．点電荷の電位 $V = k Q / r$ の勾配から電場を求め， $r \neq 0$ でラプラス方程式を満たすことを確かめよ．

練習2　 $v = (y z, z x, x y)$ の回転を求めよ． $v = \nabla ψ$ となる $ψ$ はあるか．

練習3　半径 $R$ ，総電荷 $Q$ の一様に帯電した球（密度 $ρ$ ）の中の電位は，中の電場 $k Q r / R^{3}$ を表面から積分して $V = k Q (3 R^{2} - r^{2}) / (2 R^{3})$ となる．ポアソン方程式を満たすことを確かめよ．

答え　練習1： $\partial r / \partial x = x / r$ なので $\partial V / \partial x = - k Q x / r^{3}$ ，ほかも同じで $E = k Q r / r^{3}$ ． $r^{2} d V / d r = - k Q$ は定数なので $\nabla^{2} V = 0$ ．練習2： $x$ 成分は $\partial (x y) / \partial y - \partial (z x) / \partial z = x - x = 0$ ，ほかも0で $\nabla \times v = 0$ ． $ψ = x y z$ とすればよい．練習3： $r^{2} d V / d r = - k Q r^{3} / R^{3}$ なので $\nabla^{2} V = - 3 k Q / R^{3} = - ρ / ε_{0}$ （ $ρ = 3 Q / (4 π R^{3})$ ）．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

点 $(0, 0, d / 2)$ に電荷 $+ q$ ，点 $(0, 0, - d / 2)$ に電荷 $- q$ を置く． $p = (0, 0, q d)$ ， $k = 1 / (4 π ε_{0})$ とする．

無限遠の電位を0とし，原点からの距離 $r$ が $d$ よりずっと大きい点の電位を， $d / r$ の1次まで求めよ．
1. の電位から電場を求め， $z$ 軸上と $x y$ 平面上の電場を答えよ．

**［図：電気双極子と遠くの点 P］**
z = d/2 に＋q，z = −d/2 に −q を置く．原点から遠くの点 P への位置ベクトル r と電荷の間隔 d を示す．

解答を見る

考え方 距離を $d / r$ で展開して電位を足し，それから勾配をとる．

$r_{\pm}^{2} = r^{2} \mp z d + d^{2} / 4$ なので，1次までで $\frac{1}{r_{\pm}} \approx \frac{1}{r} (1 \pm \frac{z d}{2 r^{2}})$ ．

V = k q (\frac{1}{r_{+}} - \frac{1}{r_{-}}) \approx \frac{k q d z}{r^{3}} = \frac{k p \cdot r}{r^{3}}

$V = k p z (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{- 3 / 2}$ を偏微分して

E_{x} = \frac{3 k p x z}{r^{5}}, E_{y} = \frac{3 k p y z}{r^{5}}, E_{z} = \frac{k p (3 z^{2} - r^{2})}{r^{5}}

まとめると $E = k \frac{3 (p \cdot e_{r}) e_{r} - p}{r^{3}}$ である． $z$ 軸上では $E_{z} = 2 k p / {| z |}^{3}$ （ $p$ の向き）， $x y$ 平面上では $E = - k p / r^{3}$ （ $p$ と逆向き）．

確かめ： $| z | > d / 2$ の $z$ 軸上で2つの点電荷の電場を直接足すと $E_{z} = \frac{2 k q d | z |}{(z^{2} - d^{2} / 4)^{2}} \approx \frac{2 k p}{{| z |}^{3}} (1 + \frac{d^{2}}{2 z^{2}})$ で，先頭の項は (2) と一致し，ずれの割合は $d^{2} / (2 z^{2})$ である．双極子の近似は $d / r$ が十分小さいときに使え， $r$ が $d$ の5倍でも誤差は2 %ほどである．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

（発展） $E_{0}, a$ を正の定数とし，2つのベクトルの場 $E_{1} = \frac{E_{0}}{a} (x, - y, 0)$ と $E_{2} = \frac{E_{0}}{a} (- y, x, 0)$ を考える．

それぞれの回転を求め，止まった電荷の電場になりうるのはどちらか答えよ．
なりうる方について，原点を基準とする電位と電荷密度を求め，等電位線の形を述べよ．
もう一方について， $(0, 0)$ ， $(a, 0)$ ， $(a, a)$ ， $(0, a)$ を頂点とする正方形を反時計回りに一周する線積分を直接求め，ストークスの定理と合うことを確かめよ．

**［図：2つのベクトルの場と正方形の道］**
左に E₁ = (E₀/a)(x，−y，0)，右に E₂ = (E₀/a)(−y，x，0) の青の矢印を示す．右の橙の正方形は原点から第1象限にある辺 a の道で，反時計回りに一周する．

解答を見る

考え方 静電場なら回転が0．一周の線積分は辺ごとに計算する．

$z$ 成分だけを調べればよい． $E_{1}$ は $\partial E_{y} / \partial x - \partial E_{x} / \partial y = 0$ ， $E_{2}$ は $\frac{E_{0}}{a} + \frac{E_{0}}{a} = \frac{2 E_{0}}{a}$ ．静電場になりうるのは $E_{1}$ ．
$V = - \frac{E_{0}}{2 a} (x^{2} - y^{2})$ とすると $- \partial V / \partial x = E_{0} x / a$ ， $- \partial V / \partial y = - E_{0} y / a$ で $E_{1}$ に一致する． $\nabla \cdot E_{1} = E_{0} / a - E_{0} / a = 0$ なので $ρ = 0$ ， $\nabla^{2} V = 0$ である． $x y$ 平面の等電位線は $V \neq 0$ では直角双曲線 $x^{2} - y^{2} = 一定$ ， $V = 0$ では2直線 $y = \pm x$ で，原点は鞍点である．
下の辺（ $y = 0$ ）では $E_{x} = 0$ で0．右の辺（ $x = a$ ， $y$ を0から $a$ へ）では $E_{y} = E_{0}$ で $E_{0} a$ ．上の辺（ $y = a$ ， $x$ を $a$ から0へ）では $E_{x} = - E_{0}$ で $\int_{a}^{0} (- E_{0}) d x = E_{0} a$ ．左の辺（ $x = 0$ ）では $E_{y} = 0$ で0．合計 $2 E_{0} a$ ．回転の $z$ 成分 $2 E_{0} / a$ に面積 $a^{2}$ を掛けても $2 E_{0} a$ で，一致する．

確かめ： $E_{1}$ は， $x$ 軸上の2点に負の電荷， $y$ 軸上の2点に正の電荷を原点から等距離に置いたときの，中心付近の場の形で，鞍点はアーンショーの定理と合う． $E_{2}$ のような回る電場は，第23章で磁場が時間とともに変わる所に現れる．

ポイントここまでのまとめ

勾配 $\nabla ψ$ は $ψ$ が最も急に増える向きのベクトルで， $Δ ψ = \nabla ψ \cdot Δ r$ ．勾配の線積分は端点の値の差で決まる．
（発展）回転 $\nabla \times v$ は，小さな道に沿った循環を面積で割ったもの．ストークスの定理 $\int_{Γ} v \cdot d r = \int_{S} (\nabla \times v) \cdot n d S$ ．
（発展） $\nabla \times \nabla ψ = 0$ ．穴のない領域では，回転が0の場は勾配で書ける（保存場）．
（発展） $\nabla^{2} ψ = \nabla \cdot \nabla ψ$ はまわりの平均とのずれ． $\nabla^{2} V = - ρ / ε_{0}$ ，電荷のない所では $\nabla^{2} V = 0$ ．
双極子の電位は $k p \cdot r / r^{3}$ ，電場は $k [3 (p \cdot e_{r}) e_{r} - p] / r^{3}$ ．