電荷と電場

導体とコンデンサーの演習

著者：柚木芹香

導体ごとの電荷保存を使ってください．力を求めるときは，電源の仕事も数えましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

真空中で，内半径 $a$ ，外半径 $b$ の中性の導体球殻の空洞内に，正の点電荷 $q$ を中心からずらして置きます．外部に電荷はなく，無限遠を電位0とします．

内壁と外表面の総電荷，導体の電位を求めよ．内壁の電荷は一様か．
球殻を接地した後の内壁と外表面の総電荷，地面から球殻へ移る電荷を求めよ．空洞の電場も0になるか．

**［図：偏心電荷をもつ中性導体球殻］**
球殻の断面に半径 $a,b$，中心からずれた $q$，接地用のスイッチを示す．

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考え方
金属内のガウス面の内側の電荷は0である．

金属内は $E = 0$ なので $q + Q_{in} = 0$ ．球殻の総電荷が0だから $Q_{in} = - q$ ， $Q_{out} = q$ ．外表面が等電位なので外部は球対称で， $E = q / (4 π ε_{0} r^{2})$ ．したがって $V (b) = \int_{b}^{\infty} E d r = q / (4 π ε_{0} b)$ ．内壁の電荷は一様ではない．
接地で $V (b) = 0$ ．外部の電位は境界と無限遠で0だから全域で0となり， $Q_{out} = 0$ ．内壁は依然 $- q$ なので，球殻へ移る電荷は $- q$ ．空洞の場は点電荷から内壁へ向かい，0ではない．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

面積 $S$ ，間隔 $d$ の真空の平行板コンデンサーを，電荷 $+ Q, - Q$ を与えて孤立させます．厚さ $t < d$ の中性の導体板を極板と平行に，全面に挿入します．板は極板に接触せず，隙間は $h, d - t - h$ です．端の効果を無視します．

両隙間の電場，挿入後の容量と電圧を求めよ．
挿入前後の静電エネルギーの差を求めよ．容量は $h$ に依存するか．

**［図：孤立した極板と中性導体板］**
極板の電荷，面積 $S$，間隔 $d$，板の厚さ $t$ と隙間 $h$ を示す．

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考え方
導体板内の電位差は0であり，電位差が生じる長さは隙間の和である．

板の両面に $- Q, + Q$ が誘導される．ガウスの法則から両隙間で $E = Q / (ε_{0} S)$ ．よって $V = E [h + d - t - h] = Q (d - t) / (ε_{0} S)$ ， $C = Q / V = ε_{0} S / (d - t)$ ．
$U_{0} = Q^{2} d / (2 ε_{0} S)$ ， $U_{1} = Q^{2} (d - t) / (2 ε_{0} S)$ だから， $U_{1} - U_{0} = - Q^{2} t / (2 ε_{0} S)$ ．容量は位置によらず， $t \to 0$ で元に戻る．近似には $d / \sqrt{S}$ が十分小さく，挿入板の縁の影響を無視できることが必要である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

面積 $S$ の3枚の導体板A，M，Bをこの順に平行に並べ，隙間を $d, 2 d$ とします．真空中で $C_{0} = ε_{0} S / d$ とおき，外側の面の電荷と端の効果を無視します．初め $V_{A} = V > 0, V_{B} = 0$ ，孤立したMの総電荷は $q = C_{0} V / 4$ です．

Mの電位と両面の電荷を求めよ．
電源を切り離し，AとBをつなぎます．平衡後のMと外側の電位差，Mの両面の電荷，静電エネルギーの減少を求めよ．接続中の損失で静電平衡に達します．

**［図：三枚の導体板と接続操作］**
A，M，Bの隙間 $d,2d$，Mの総電荷 $q$，初めの電源と切り離し後にA，Bを結ぶスイッチを示す．

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考え方
Mの両面の電荷の和が保存される．両面の電荷は等しいとは限らない．

Mの左面は $C_{0} (V_{M} - V)$ ，右面は $(C_{0} / 2) V_{M}$ ．その和が $C_{0} V / 4$ なので $3 V_{M} / 2 - V = V / 4$ ， $V_{M} = 5 V / 6$ ．両面の電荷は順に $- C_{0} V / 6, 5 C_{0} V / 12$ である．
外側の電位を $V_{O}$ とすると $(3 C_{0} / 2) (V_{M} - V_{O}) = q$ ．よって電位差は $V / 6$ ，Mの電荷は順に $C_{0} V / 6, C_{0} V / 12$ ．外側の総電荷は初めも最後も $- q$ である．初めのエネルギーは $U_{i} = C_{0} (V / 6)^{2} / 2 + (C_{0} / 2) (5 V / 6)^{2} / 2 = 3 C_{0} V^{2} / 16$ ，最後は $U_{f} = (3 C_{0} / 2) (V / 6)^{2} / 2 = C_{0} V^{2} / 48$ ．減少は $C_{0} V^{2} / 6$ で，接続中に失われる．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

幅 $w = 4.00 \times 10^{- 2} m$ の極板の重なり長さ $x$ を変えて容量を測ります．真空の間隔 $d$ は一定で，容量には一定の並列寄生容量 $C_{p}$ を含めます． $ε_{0} = 8.85 \times 10^{- 12} F m^{- 1}$ とします．

$x$ （ $m$ ）	$C$ （ $pF$ ）
$0.0200$	$120$
$0.0400$	$200$
$0.0600$	$280$

$C$ と $x$ の関係式から $d, C_{p}$ を求めよ．各容量の誤差が最大 $2 pF$ のとき，両端2点で決める傾きの相対誤差の上限も求めよ．長さの誤差は無視します．
電圧 $V = 50.0 V$ を一定に保ちます．電気力と， $x$ を $0.0600 m$ から $0.0200 m$ までゆっくり減らす外力の仕事を求めよ．

**［図：横に滑る極板と一定電圧源］**
横に滑る極板の幅 $w$，重なり $x$，間隔 $d$，一定電圧源を描く．

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考え方
測定の傾きと，電源を含む収支を使う．

$C = C_{p} + ε_{0} w x / d$ ．傾きは $A = (280 - 120) \times 10^{- 12} / 0.0400 = 4.00 \times 10^{- 9} F m^{- 1}$ ．従って $d = ε_{0} w / A = 8.85 \times 10^{- 5} m$ ， $C_{p} = 120 pF - A \times 0.0200 m = 40.0 pF$ ．中央も一致する．傾きの相対誤差は最大 $4 / 160 = 0.025$ ，2.5 %である．
$d Q = V d C$ ，電源の仕事は $V d Q = V^{2} d C$ ，場の増分は $d U = V^{2} d C / 2$ ．差が $F d x$ だから $F = V^{2} A / 2 = 5.00 \times 10^{- 6} N$ で重なりを増す向き．外力の仕事は $W = F \times 0.0400 m = 2.00 \times 10^{- 7} J$ ．端を無視する条件 $d / w, d / x$ は測定範囲で十分小さい．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

面積 $S$ の真空の平行板コンデンサーの一方を固定し，質量 $m$ の極板をばね定数 $k$ のばねで支えます．無帯電時の隙間は $d_{0}$ ，接近方向の変位は $x$ ，ばねの復元力は $- k x$ です．摩擦，重力，端の効果を無視します．

両極板の電荷を $+ Q, - Q$ に固定した場合のつり合い位置と微小振動の角振動数を求めよ．
電圧 $V$ を一定に保つ場合のつり合い条件，安定範囲，安定なつり合いの限界電圧 $V_{c}$ を求めよ．安定位置 $x_{e}$ での小振動の角振動数も求めよ．

**［図：ばねで支えた可動極板］**
固定極板，可動極板 $m$，ばね $k$，隙間 $d_0-x$，接近方向の座標 $x$ を描く．

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考え方
電気力の位置依存性が，ばねの復元力を弱めるかどうかを調べる．

$U = Q^{2} (d_{0} - x) / (2 ε_{0} S)$ より $F = - \frac{d U}{d x} = Q^{2} / (2 ε_{0} S)$ ． $k x_{e} = F$ だから $x_{e} = Q^{2} / (2 k ε_{0} S)$ ． $ξ = x - x_{e}$ とおくと $m \frac{d^{2} ξ}{d t^{2}} = - k ξ$ ， $ω = \sqrt{k / m}$ ．ただし $x_{e} < d_{0}$ が必要である．
$C = ε_{0} S / (d_{0} - x)$ ．電源の仕事 $V^{2} d C$ から場の増分 $V^{2} d C / 2$ を引くと， $F = V^{2} \frac{d C}{d x} / 2 = ε_{0} S V^{2} / [2 (d_{0} - x)^{2}]$ ．つり合いは $x_{e} (d_{0} - x_{e})^{2} = ε_{0} S V^{2} / (2 k)$ ．その点で $\frac{d F}{d x} = 2 k x_{e} / (d_{0} - x_{e})$ なので安定条件は $k > \frac{d F}{d x}$ ，すなわち $0 \leq x_{e} < d_{0} / 3$ ．左辺の最大値は $x_{e} = d_{0} / 3$ で $4 d_{0}^{3} / 27$ だから

V_{c} = \sqrt{\frac{8 k d_{0}^{3}}{27 ε_{0} S}}, ω = \sqrt{\frac{k}{m} \frac{d_{0} - 3 x_{e}}{d_{0} - x_{e}}} ．

角振動数は $m \frac{d^{2} ξ}{d t^{2}} = - [k - \frac{d F}{d x} (x_{e})] ξ$ から得られる． $V = V_{c}$ でも $x_{e} = d_{0} / 3$ のつり合いは残るが，合力の先頭の項が $9 k ξ^{2} / (4 d_{0})$ となるため安定ではない． $V > V_{c}$ ではつり合いは存在しない．線形化には $| ξ | / (d_{0} - x_{e})$ が十分小さく，限界近くでは $| ξ | / (d_{0} - 3 x_{e})$ も十分小さいことが必要である． $V \to 0$ で $ω \to \sqrt{k / m}$ となる．

ポイント教える人へ

空洞の遮蔽と接地の効果を，内壁と外表面に分けて説明させます．
孤立した板の両面に，符号つき電荷を書かせます．
電源の仕事と場の増分を別々に数えさせます．
つり合いの存在と安定性を区別させます．