誘電体と分極

問い

食塩の結晶は，ナトリウムイオン $\mathrm{Na}{\phantom{A}}^{+}$ と塩化物イオン $\mathrm{Cl}{\phantom{A}}^{-}$ が電気の力で引き合って並んだものです．隣どうしの距離は約 $0.28\mathrm{nm}$ で，1組のイオンを引き離すには数 $\mathrm{eV}$，室温の熱運動のエネルギー $k_{B}T\approx 0.026\mathrm{eV}$ の100倍以上が要ります．それなのに，食塩は水に入れてかき混ぜるだけで，ばらばらのイオンになって溶けます．水の中ではイオンどうしの引力が弱まるからだといわれます．中性の分子の集まりである水が，なぜ電気の力を弱められるのでしょうか．

考えてみる

この章の最初の題材で，中性の髪の毛が下じきに引かれるのは分極するからだと説明しました．水の分子も同じで，$\mathrm{Na}{\phantom{A}}^{+}$ のまわりでは負に偏った酸素の側をイオンに向けて並び，遠くから見たイオンの電荷を小さく見せるはずです．けれど，どれだけ弱まるかを分子1個ずつの重ね合わせで計算することはできません．分子の向きはその場所の電場で決まり，その電場が分子の向きで決まるからです．そこで「単位体積あたりどれだけ偏っているか」という平均の量で物質を表し，外から決められる電荷と切り分けます．

分極と分極電荷

電流をほとんど通さない物質を誘電体といいます．電場の中では，原子の電子の雲がずれる電子の偏りと，水のような極性分子が熱運動に乱されながら電場の向きにそろう向きのそろいによって，双極子モーメントが生じます．

一様に分極した板（面積 $S$，厚さ $L$）の中では，分子の正の端の隣に次の分子の負の端が来て打ち消し合い，両端の面にだけ薄い電荷の層が残ります．その面密度を ${\sigma }_{\mathrm{b}}$ とすると，板全体の双極子モーメントを2通りに数えて ${\sigma }_{\mathrm{b}}SL=PSL$，つまり ${\sigma }_{\mathrm{b}}=P$ です．一般に，正の電荷（数密度 $n$，電荷 $q$）が $\mathit{u}$ ずれたと考えると，外向きの法線が $\mathit{n}$ の小さな面 $\mathrm{d}S$ を横切って外へ出る電荷は $nq\mathit{u}\mathbf{\cdot }\mathit{n}\mathrm{d}S=\mathit{P}\mathbf{\cdot }\mathit{n}\mathrm{d}S$ で，閉じた面の中にはその分の負の電荷が残ります．

分極電荷は分子に縛られ，導線で運び出せません．極板にのせた電荷や外から持ち込んだイオンの電荷は自由電荷と呼び，添字 $\mathrm{f}$ で区別します．電場を作るのは両方の電荷です．

比誘電率

真空の平行板コンデンサー（面積 $S$，間隔 $d$）に自由電荷 $\pm Q$ を与えて電源から切り離し，隙間を誘電体で満たします．誘電体は正の極板から負の極板へ向けて分極し，正の極板に接する面に $-P$，負の極板に接する面に $+P$ の分極電荷が現れて，極板の電荷を一部打ち消します．${\sigma }_{\mathrm{f}}=Q/S$ として，中の電場は $E=({\sigma }_{\mathrm{f}}-P)/{\epsilon }_0$ です．多くの物質では，電場が強すぎなければ $P$ は $E$ に比例します．

代入すると ${\epsilon }_{r}E={\sigma }_{\mathrm{f}}/{\epsilon }_0$ で，電場も電圧も真空のときの $1/{\epsilon }_r$ 倍，容量 $C={\epsilon }_r{\epsilon }_{0}S/d={\epsilon }_r{C}_0$ は ${\epsilon }_r$ 倍です．${\epsilon }_r$ は，空気 1.0006，ポリエチレン 2.3，ガラス 5〜10，エタノール 24，水（$20{}^{\circ }\mathrm{C}$）80 などです．比例は電場が原子の中の電場（${10}^{11}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ 程度）よりずっと弱いときの近似ですが，実際にはその前に絶縁破壊が起こって電流が流れます（空気では約 $3\times {10}^6\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$）．

電束密度と自由電荷のガウスの法則

電場のガウスの法則 ${\epsilon }_0\int \mathit{E}\mathbf{\cdot }\mathit{n}\mathrm{d}S=Q_{\mathrm{f}}+Q_{\mathrm{b}}$ に $Q_{\mathrm{b}}$ の式を入れて左辺へ移すと，分極電荷が消えます．

これだけで $\mathit{D}$ が決まるのは対称性があるときです．平行板では $D={\sigma }_{\mathrm{f}}$，$E=D/({\epsilon }_r{\epsilon }_0)$ で上の結果に一致します．一様な液体の中の点電荷 $q$ では $4\pi r^{2}D=q$ から $E={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_r{\epsilon }_0{r}^2}}$ で，もう1つのイオンが受ける力も $1/{\epsilon }_r$ 倍になります．ただし液体を連続した物質と見ているので，$r$ が分子の大きさ（水では約 $0.3\mathrm{nm}$）より十分大きいときの式です．コンデンサーのエネルギー $U={\displaystyle \frac{1}{2}}C{V}^2$ に $V=Ed$ を入れると，エネルギー密度は ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\epsilon }_r{\epsilon }_0{E}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}ED$ です．

境界の条件

比誘電率 ${\epsilon }_{r1}$ と ${\epsilon }_{r2}$ の誘電体が接する平面を考え，法線は1から2へ向けます．境界をまたぐ平たい箱（底面積 $\mathrm{\Delta }S$）で $\mathit{D}$ のガウスの法則を使い，厚さを0に近づけると側面の流束が消えて $(D_{2n}-D_{1n})\mathrm{\Delta }S={\sigma }_{\mathrm{f}}\mathrm{\Delta }S$ です．境界をまたぐ細い長方形の道を一周する $\mathit{E}$ の線積分は，静電場が保存場なので0で，短い辺を0に近づけると $(E_{1t}-E_{2t})\ell =0$ です．

自由電荷が無ければ，電気力線が法線となす角について $\tan {\theta }_1/\tan {\theta }_2={\epsilon }_{r1}/{\epsilon }_{r2}$ で，比誘電率の大きい側では力線が境界に寝ます．「境界で何がつながるか」という見方は，第26章の光の反射と透過でもう一度使います．

誘電体が引き込まれる力

幅 $w$，長さ $\ell$，間隔 $d$ の平行板コンデンサーに，隙間を満たす誘電体板を長さ $x$ だけ差し込みます．入った部分と入っていない部分は並列なので $C(x)={\displaystyle \frac{{\epsilon }_{0}w}{d}}[\ell +({\epsilon }_r-1)x]$ です．

力の出し方は，前の題材の極板の間の力と同じです．電荷 $Q$ が一定なら，電気力の仕事 $F\mathrm{d}x$ の分だけ $U=Q^2/(2C)$ が減るので $F=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{Q^2}{2C^2}}\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{V^2}{2}}\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}x}$ です．電圧 $V$ が一定なら，電源の仕事 $V^2\mathrm{d}C$ の半分が静電エネルギーの増加 ${\displaystyle \frac{1}{2}}{V}^2\mathrm{d}C$ に，残りが $F\mathrm{d}x$ になるので，やはり $F\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{2}}{V}^2\mathrm{d}C$ です．

同じ状態なら力は同じで，電圧一定なら力は一定，電荷一定なら $V$ が下がって力は弱まっていきます．力が働くのは極板の端の曲がった電場の所で，非一様な電場が誘電体の双極子を強い場の側へ引くのです．エネルギーの方法はその場を計算せずにすみますが，端の影響の広がりは $d$ 程度なので，$d$ が $w,x,\ell -x$ より十分小さいことが条件です．

分極の微視的な模型

原子を，半径 $a$ の球に一様に広がった電子の雲（$-e$）と中心の原子核（$+e$）で表します．電場 $E$ で原子核が $u$ ずれると，一様に帯電した球の中の電場 $eu/(4\pi {\epsilon }_0{a}^3)$（ガウスの法則）が引き戻すので，つり合いから $p=eu=4\pi {\epsilon }_0{a}^{3}E$ です．$\mathit{p}=\alpha \mathit{E}$ の係数 $\alpha =4\pi {\epsilon }_0{a}^3$ を分極率といいます．復元力は $u$ に比例するので，ばね定数 $e^2/(4\pi {\epsilon }_0{a}^3)$ のばねで電子をつないだ模型と同じです．

$a=1.0\times {10}^{-10}\mathrm{m}$ なら $\alpha \approx 1.1\times {10}^{-40}\mathrm{C}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{V}}^{-1}$．気体では $P=n\alpha E$ から ${\epsilon }_r=1+n\alpha /{\epsilon }_0$ で，空気の $n=2.7\times {10}^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$ では ${\epsilon }_r-1\approx 3\times {10}^{-4}$ と，測定値 $6\times {10}^{-4}$ と桁が合います．ここでは原子に働く場を巨視的な $E$ で近似しました．$n\alpha /{\epsilon }_0$ が十分小さい気体では良い近似ですが，液体や固体では隣の双極子の場の補正が要ります．

水の ${\epsilon }_r$ がとびぬけて大きいのは，電子の偏りではなく，もともと双極子をもつ分子の向きのそろいが効くからです．熱運動が向きを乱すので，温度が上がると ${\epsilon }_r$ は下がります（$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ で88，$100{}^{\circ }\mathrm{C}$ で55）．

問いに戻る

$\mathrm{Na}{\phantom{A}}^{+}$ を水に入れると，まわりの水の分子が向きをそろえ，イオンの表面を負の分極電荷が包みます．$D$ は真空と同じでも，電場は $1/{\epsilon }_r\approx 1/80$ に弱まります．距離 $0.28\mathrm{nm}$ の $\mathrm{Na}{\phantom{A}}^{+}$ と $\mathrm{Cl}{\phantom{A}}^{-}$ の引き合うエネルギーは，真空の約 $5\mathrm{eV}$ から約 $0.06\mathrm{eV}$ になり，$k_{B}T$ と同じ程度です．だから熱運動がイオンを引き離せるのです（接したイオンでは連続体の近似は粗く，桁の見積もりです）．