誘電体の例題

考え方 直列型では境界が極板に平行で，自由電荷の無い境界で $D_n$ がつながるから，$D$ が2つの層で等しい．並列型では境界が極板に垂直で，$E_t$ がつながり，どちらの部分も両極板の電位差が $V$ だから，$E$ が等しい．

1. 両層の電束密度を $D$ とすると，誘電体中は $E_{\mathrm{d}}=D/({\epsilon }_r{\epsilon }_0)$，真空中は $E_{\mathrm{v}}=D/{\epsilon }_0$ である．電圧は $V=E_{\mathrm{d}}\cdot {\displaystyle \frac{d}{2}}+E_{\mathrm{v}}\cdot {\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{Dd}{2{\epsilon }_0}}({\displaystyle \frac{1}{{\epsilon }_r}}+1)$ だから

極板の表面で $\mathit{D}$ のガウスの法則を使うと，正の極板の自由電荷の面密度は $D$ で，$Q=DS$．よって

分極は $P=D-{\epsilon }_0{E}_{\mathrm{d}}=D(1-{\displaystyle \frac{1}{{\epsilon }_r}})$ で，正の極板から負の極板へ向く．真空側の面の外向き法線は $\mathit{P}$ と同じ向きなので，分極電荷の面密度は

で正である．確かめとして，この面で電場のガウスの法則を使うと ${\epsilon }_0(E_{\mathrm{v}}-E_{\mathrm{d}})={\sigma }_{\mathrm{b}}$ となり，一致する．

2. どちらの部分でも $E=V/d$．電束密度は誘電体側で $D={\epsilon }_r{\epsilon }_{0}V/d$，真空側で $D={\epsilon }_{0}V/d$ で，それぞれが極板の自由電荷の面密度に等しい．自由電荷は誘電体の側に ${\epsilon }_r$ 倍集まる．全電荷は $Q={\displaystyle \frac{S}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{({\epsilon }_r+1){\epsilon }_{0}V}{d}}$ だから

（${\epsilon }_r{C}_0/2$ と $C_0/2$ の並列）．

3. 差は

で，$C_{\mathrm{B}}\ge C_{\mathrm{A}}$（等号は ${\epsilon }_r=1$）．${\epsilon }_r=3$ では $C_{\mathrm{A}}=1.5C_0$，$C_{\mathrm{B}}=2C_0$．直列型の真空部分の電場 $1.5V/d$ は誘電体が無いときより強く，薄い空気の層は絶縁破壊しやすい．${\epsilon }_r\to 1$ では両方とも $C_0$ に戻る．

考え方 入った部分と入っていない部分は並列で，$C(x)=C_0[1+({\epsilon }_r-1)x/\ell ]$．電圧一定では電池の仕事 $V\mathrm{d}Q$ を入れたエネルギーの収支，電荷一定では静電エネルギーの減少が板の運動エネルギーになる．

1. $x=0$ から $\ell /2$ までの容量の増加は $\mathrm{\Delta }C={\displaystyle \frac{({\epsilon }_r-1)C_0}{2}}$．電池は電荷 $V\mathrm{\Delta }C$ を送り込み，仕事 $W_{\mathrm{s}}=V^2\mathrm{\Delta }C$ をする．静電エネルギーの増加は $\mathrm{\Delta }U={\displaystyle \frac{1}{2}}{V}^2\mathrm{\Delta }C$ だから，板の運動エネルギーは

で，$v_1=V\sqrt{{\displaystyle \frac{({\epsilon }_r-1)C_0}{2m}}}$．電池の仕事は半分ずつ静電エネルギーと運動エネルギーに分かれる．引き込む力は一定値 $F_0={\displaystyle \frac{V^2}{2}}\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{({\epsilon }_r-1)C_0{V}^2}{2\ell }}$ で，仕事 $F_0\ell /2$ とも一致する．

2. 電荷 $Q=C_{0}V$ が一定である．$C(\ell /2)={\displaystyle \frac{{\epsilon }_r+1}{2}}{C}_0$ だから

で，$v_2=V\sqrt{{\displaystyle \frac{({\epsilon }_r-1)C_0}{({\epsilon }_r+1)m}}}$．比は ${\displaystyle \frac{v_2^2}{v_1^2}}={\displaystyle \frac{2}{{\epsilon }_r+1}}<1$ で，電荷一定の方が遅い．電荷一定では板が入るほど $C$ が増えて電圧が下がり，力が弱まるからである．$x=0$ では両者の力は等しい．

3. $0<x<\ell$ では板は一定の力 $F_0$ で引き込まれ，等加速度 $a=F_0/m$ で動く．$x=\ell$ で板は極板の間をちょうど満たし，運動エネルギー $F_0\ell$ をもって反対側へ出始める．$\ell <x<2\ell$ では重なりの長さが $2\ell -x$ で，$C$ が減るので力は $-F_0$（引き戻す向き）になる．対称性から板は $x=2\ell$ で止まり，$x=0$ と $2\ell$ の間を往復する．$0$ から $\ell$ までの時間は $t_1=\sqrt{2\ell /a}$ なので，周期は

力の大きさが一定で変位に比例しないから，単振動ではない．たとえば $w=\ell =0.10\mathrm{m}$，$d=1.0\mathrm{mm}$，${\epsilon }_r=4.0$，$V=1.0\mathrm{kV}$ では $F_0\approx 1.3\times {10}^{-3}\mathrm{N}$ で，$m=20\mathrm{g}$ なら $T\approx 6.9\mathrm{s}$ とゆっくりである．

確かめ：力の式は $d$ が $w$，$x$，$\ell -x$ より十分小さいときのもので，$x=0,\ell ,2\ell$ の近く（幅 $d$ 程度）では力はなめらかに変わる．

考え方 イオンの電荷は自由電荷として $\mathit{D}$ のガウスの法則で数え，$E=D/({\epsilon }_r{\epsilon }_0)$ で電場に直す．分極電荷は，電場のガウスの法則が数える電荷と自由電荷の差である．

1. 半径 $r$ の球面で $4\pi r^{2}D=e$ だから

電場のガウスの法則で数えた面の中の電荷は ${\epsilon }_0\cdot 4\pi r^{2}E=e/{\epsilon }_r$ なので，分極電荷の和は

である．$r$ によらないので，分極電荷は水の内部には無く，イオンに接する水の表面に集まっている．

2. 真空中では

水中ではその $1/80$ で約 $0.064\mathrm{eV}$．$k_{B}T=4.14\times {10}^{-21}\mathrm{J}\approx 0.026\mathrm{eV}$ だから，真空中では $k_{B}T$ の約200倍，水中では約2.5倍にすぎない．

3. ${\displaystyle \frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_r{\epsilon }_{0}r}}=k_{B}T$ より $r={\displaystyle \frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_r{\epsilon }_0{k}_{B}T}}$．真空中では

水中では $1/80$ で約 $0.69\mathrm{nm}$．$1\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ の食塩水では，$\mathrm{Na}{\phantom{A}}^{+}$ と $\mathrm{Cl}{\phantom{A}}^{-}$ を合わせた数密度は $n=2\times 6.02\times {10}^{26}{\mathrm{m}}^{-3}$ で，間隔は $n^{-1/3}\approx 0.94\mathrm{nm}$ である．水中ではこの程度離れた異符号のイオンの引力のエネルギーは $k_{B}T$ より小さく，熱運動でばらばらに動ける．真空中では，$k_{B}T$ と等しくなるまで約60倍の距離が必要である．

確かめ：水を連続した誘電体とみなせるのは，距離が水の分子の大きさ（約 $0.3\mathrm{nm}$）より十分大きいときである．(3) の $0.69\mathrm{nm}$ や $0.94\mathrm{nm}$ ではおおよそ使えるが，(2) の接した距離 $r_0$ では近似が粗く，$0.064\mathrm{eV}$ は桁の見積もりと考える．