電荷と電場

誘電体と分極の演習

著者：柚木芹香

自由電荷と分極電荷を区別してください．挿入や液面上昇では，電源の仕事も数えましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

真空の平行板コンデンサー（面積 $S$ ，間隔 $d$ ）を電圧 $V_{0}$ まで充電し，電源から切り離します．比誘電率 $ε_{r} > 1$ の線形誘電体で隙間を満たします．端と漏れを無視し， $C_{0} = ε_{0} S / d$ とします．

挿入後の容量，極板の自由電荷，電圧，電場を求めよ．
分極の大きさと，正の極板に向く面の分極電荷密度を求めよ．静電エネルギーは挿入前の何倍か．

**［図：充電後に誘電体で満たした極板］**
極板と誘電体，$S,d,\varepsilon_r$，充電時の $V_0$ を記す．

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考え方
自由電荷を保存し， $D = Q / S$ ， $P = D - ε_{0} E$ を使う．

$C = ε_{r} C_{0}$ ， $Q = C_{0} V_{0}$ は一定．従って $V = Q / C = V_{0} / ε_{r}$ ， $E = V / d = V_{0} / (ε_{r} d)$ ．
$P = D - ε_{0} E = ε_{0} (ε_{r} - 1) V_{0} / (ε_{r} d)$ ．正の極板に向く面の外向き法線は分極と反対なので， $σ_{b} = - P$ ． $U = Q^{2} / (2 C)$ より $U / U_{0} = C_{0} / C = 1 / ε_{r}$ ． $ε_{r} \to 1$ で $P \to 0$ となり，真空の結果に戻る．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

比誘電率 $ε_{r 1} = 2.0$ の媒質1と，未知の $ε_{r 2}$ の媒質2の平面境界を考えます．法線は1から2へ向けます．媒質1の場の法線・接線成分は $E_{1 n} = 3.0 \times 10^{4} V m^{- 1}$ ， $E_{1 t} = 4.0 \times 10^{4} V m^{- 1}$ です．媒質2の場が法線となす角 $θ_{2}$ は $\tan θ_{2} = 8 / 3$ でした．両媒質は線形で，境界に自由電荷はありません．

小さな箱と細い長方形の道で境界条件を導け．
$ε_{r 2}$ と $E_{2 n}, E_{2 t}$ を求めよ． $D_{n}$ が連続なら $E_{n}$ も連続か．

**［図：二つの誘電体の境界と測定した場］**
媒質1，2の境界と法線，$E_{1n},E_{1t}$，測定角 $\theta_2$ を示す．

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考え方
ガウスの法則と静電場の循環を使う．

境界をまたぐ薄い箱で $(D_{2 n} - D_{1 n}) S = 0$ ．細い長方形に沿って一周する積分は0だから，厚さを0にすると $(E_{1 t} - E_{2 t}) ℓ = 0$ ．よって $ε_{r 1} E_{1 n} = ε_{r 2} E_{2 n}$ ， $E_{2 t} = E_{1 t}$ ．
$E_{2 n} = E_{2 t} / \tan θ_{2} = 1.5 \times 10^{4} V m^{- 1}$ ， $E_{2 t} = 4.0 \times 10^{4} V m^{- 1}$ ， $ε_{r 2} = 2.0 \times 3.0 / 1.5 = 4.0$ ． $D_{n}$ は連続でも $E_{n}$ は異なる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

原子を，固定電荷 $+ e$ と，ばね定数 $k$ のばねにつなぐ負電荷 $- e$ で表します．一様な場 $E$ に対し，負電荷の場と反対向きのずれを $u$ とします．ずれは電場がないときのつり合い位置から測り，ばねの力が原子内の復元力全体を表すものとします．測定値は次のとおりです． $e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ ， $ε_{0} = 8.85 \times 10^{- 12} F m^{- 1}$ とします．

$E / (10^{6} V m^{- 1})$	$u / (10^{- 14} m)$
$1.00$	$0.500$
$2.00$	$1.00$
$3.00$	$1.50$

$u$ と $E$ の関係から $k$ と， $p = α E$ で定義する分極率 $α$ を求めよ．
原子を数密度 $n = 1.00 \times 10^{26} m^{- 3}$ で並べ，局所の場を巨視的な場で近似し，比誘電率を求めよ．原子半径 $a = 1.0 \times 10^{- 10} m$ で，小変位の近似を確かめよ．

**［図：ばねで結んだ電荷のずれ］**
電荷とばね，場に対するずれ $u$ を示す．

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考え方
つり合いを単位体積の双極子モーメントへ結びつける．

$k u = e E$ より $u / E = e / k$ ．表の傾きは $A = 5.00 \times 10^{- 21} m^{2} V^{- 1}$ ．従って $k = e / A = 32.0 N m^{- 1}$ ． $p = e u = e A E$ だから $α = e A = 8.00 \times 10^{- 40} C m^{2} V^{- 1}$ ．
$P = n p = n α E$ ， $D = ε_{0} E + P = (ε_{0} + n α) E$ より $ε_{r} = 1 + n α / ε_{0} = 1.00904$ ．最大でも $u / a = 1.5 \times 10^{- 4}$ で十分小さい．場の近似では， $n α / ε_{0} = 0.00904$ が十分小さいことを用いている．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

真空の平行板コンデンサーA，Bの面積は $S, 2 S$ ，間隔はともに $d$ です．直列につなぎ，全電圧を $V$ に保ちます．中間部分の総電荷は0です．Aだけを比誘電率3の誘電体で完全に満たします． $C_{0} = ε_{0} S / d$ として，端を無視します．

挿入前後の電圧と電荷を求めよ．Aの電場は初めの何倍か．
電源の仕事，静電エネルギーの増分，外力の仕事を求めよ．摩擦と電気的損失を無視し，挿入は準静的とします．

**［図：誘電体を入れるAとBの直列接続］**
A，Bの直列接続，電源 $V$，Aへ入れる誘電体を示す．

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考え方
中間部分の電荷保存により，両容量の電荷は等しい．

$C_{i} = {[1 / C_{0} + 1 / (2 C_{0})]}^{- 1} = 2 C_{0} / 3$ ， $Q_{i} = 2 C_{0} V / 3$ ．各電圧は $V_{A i} = Q_{i} / C_{0} = 2 V / 3$ ， $V_{B i} = Q_{i} / (2 C_{0}) = V / 3$ ．挿入後は $C_{f} = {[1 / (3 C_{0}) + 1 / (2 C_{0})]}^{- 1} = 6 C_{0} / 5$ ， $Q_{f} = 6 C_{0} V / 5$ ．従って $V_{A f} = 2 V / 5, V_{B f} = 3 V / 5$ ，Aの場の比は $(2 V / 5 d) / (2 V / 3 d) = 3 / 5$ ．
$Δ Q = Q_{f} - Q_{i} = 8 C_{0} V / 15$ だから，電源の仕事は $W_{s} = V Δ Q = 8 C_{0} V^{2} / 15$ ． $Δ U = (C_{f} - C_{i}) V^{2} / 2 = 4 C_{0} V^{2} / 15$ ．収支 $Δ U = W_{s} + W_{ext}$ から $W_{ext} = - 4 C_{0} V^{2} / 15$ ．外力は仕事を受け取る．場の比が3分の1ではないのは，電源から電荷が入るためである．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

幅 $w$ ，高さ $H$ ，間隔 $d$ の鉛直極板の下端を広い液槽の液面に合わせます．液体は密度 $ρ$ ，比誘電率 $ε_{r} > 1$ の線形絶縁体で，外の誘電率は $ε_{0}$ です．極板間の液面だけが高さ $h$ まで上がります． $d$ は他の長さより十分小さく，表面張力と漏れを無視します． $C_{0} = ε_{0} w H / d$ ， $β = ε_{r} - 1$ ，重力加速度を $g$ とします． $V > 0$ とし，両条件の平衡液面が $0 < h < H$ に収まる電圧の範囲を扱います．

容量 $C (h)$ と，液体の重力位置エネルギーの増分を求めよ．電圧 $V$ 一定の場合の平衡高さを求め，安定性を調べよ．
$h = 0$ に固定して電圧 $V$ まで充電し，電源を切り離してから液面を解放します．平衡高さの方程式と安定性を調べ，(1)と比べよ．

**［図：鉛直極板の間の液面上昇］**
液槽と鉛直極板，液面からの $h,H$，$w,d$ を示す．

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考え方
液体部分と上の部分は同じ電圧なので，容量を足す．

$C (h) = ε_{0} w [H - h + ε_{r} h] / d = C_{0} (1 + β h / H)$ ．重力位置エネルギーは $U_{g} = \int_{0}^{h} ρ g w d z d z = ρ g w d h^{2} / 2$ ． $d Q = V d C$ ，電源の仕事から場の増分を引くと $V^{2} d C / 2$ だから，電気力は $F = V^{2} \frac{d C}{d h} / 2 = ε_{0} w β V^{2} / (2 d)$ ． $F = \frac{d U_{g}}{d h} = ρ g w d h$ より

h_{V} = \frac{ε_{0} β V^{2}}{2 ρ g d^{2}} ．

合力の傾きは $- ρ g w d < 0$ なので安定である．

$Q = C_{0} V$ が一定であり， $U = Q^{2} / [2 C (h)]$ ．電気力は $- \frac{d U}{d h} = Q^{2} C_{0} β / [2 H C (h)^{2}]$ ．重力による抵抗とつり合わせると

h {(1 + \frac{β h}{H})}^{2} = h_{V} ．

左辺は単調に増すので根は唯一で， $0 < h < h_{V}$ ．電気力は減り，重力の抵抗は増すので安定である． $V \to 0$ で両高さとも0となる．両解は $h < H$ で， $d / w, d / h, d / (H - h)$ が十分小さい範囲に適用する．

ポイント教える人へ

自由電荷と分極電荷を区別させます．
自由表面電荷がない境界での $E_{t}, D_{n}$ の連続性を説明させます．
測定の傾きを比誘電率へ結びつけます．
電源の仕事の有無から液面上昇を比較させます．