仕事とエネルギー

エネルギーの諸形態の演習

著者：柚木芹香

力学的エネルギーが減った後の行き先を追い，収支を閉じてみましょう．効率を使うときは，何を入力とし，何を有用な出力と呼ぶのかを明示してください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $1.0 \times 10^{3} kg$ の車が，速さ $10 m s^{- 1}$ から水平な道で停止する．運動エネルギーはすべてブレーキの内部エネルギーになるものとする．

移ったエネルギーを求めよ．
ブレーキの合計質量が $10 kg$ ，比熱が $5.0 \times 10^{2} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ のとき，温度上昇を求めよ．
停止距離だけを2倍にした場合，温度上昇はどう変わるか．

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考え方 失われた運動エネルギーと，温められる物体の質量を別々に扱う．車全体の質量を比熱の式へ入れない．

$Q = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \times 10^{3} \times 10^{2} = 5.0 \times 10^{4} J$ ．車の運動エネルギーは減るが，系全体のエネルギーが消えるわけではない．
ブレーキの熱容量は $M c = 10 \times 5.0 \times 10^{2} = 5.0 \times 10^{3} J K^{- 1}$ なので， $Δ T = Q / (M c) = 10 K$ となる．温度の差を表すので，これは摂氏で10度の上昇にも等しい．
始めと終わりの速さが同じなら移るエネルギーも同じで，温度上昇は変わらない．停止距離を延ばせば平均の制動力は小さくできるが，その力がする仕事の大きさは同じである．ただし，長い時間の間に外へ熱が逃げる場合は，問題の仮定が成立しない．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

モーターに $2.0 \times 10^{4} J$ の電気エネルギーを入れたところ，荷物の重力ポテンシャルが $1.5 \times 10^{4} J$ 増えた．荷物は始めも終わりも静止し，残りは全て装置と周囲の内部エネルギーとなった．

荷物を上げる効率と，内部エネルギーの増加を求めよ．
この運転が $10 s$ かかったとき，平均入力電力と平均有用仕事率を求めよ．
効率が100 %未満であることは，エネルギー保存に反するか．

**［図：モーターのエネルギー収支］**
モーターのエネルギー収支．入力電気エネルギーからモーターを経て，荷物の位置エネルギーと装置・周囲の内部エネルギーへ分岐する図を示している．未知の量はQとする．

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考え方 効率の分母は入力全体で，分子は指定された目的に役立った分である．有用でないエネルギーも収支には残す．

$η = 1.5 \times 10^{4} / (2.0 \times 10^{4}) = 0.75$ ，すなわち75 %である．内部エネルギーの増加は $2.0 \times 10^{4} - 1.5 \times 10^{4} = 5.0 \times 10^{3} J$ となる．
入力電力は $2.0 \times 10^{3} W$ ，有用仕事率は $1.5 \times 10^{3} W$ ．同じ時間で割っているので，この2つの仕事率の比も0.75になる．瞬間の入力と出力が一定でなくても，運転全体での平均についてはこの計算ができる．
反しない．荷物の位置エネルギーと内部エネルギーの増加を加えると，入力に等しい．効率が小さいとはエネルギーの一部が消えたことではなく，選んだ目的に使えなかった割合が大きいということである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

蓄電池のエネルギーを使うポンプの効率は80 %である．質量 $M = 400 kg$ の水を，高さ $h = 5.0 m$ のタンクへ上げる．その後，同じ水を下ろして効率60 %の発電機で電気を得る． $g = 10 m s^{- 2}$ とし，各効率はそれぞれ電気から位置エネルギー，位置エネルギーから電気への変換について定義する．

最初に必要な電気エネルギーを求めよ．
回収する電気エネルギーと往復効率を求めよ．
全過程でそれ以外の形へ移る量を求めよ．

**［図：揚水と発電の2段階変換］**
揚水と発電の2段階変換．低い水槽，高さhのタンク，汲み上げるポンプと下ろして発電する経路を並べ，効率80 %と60 %を記す．

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考え方 同じ位置エネルギーを，ポンプでは出力，発電機では入力として扱う．効率を足すのでなく，段階ごとの収支をつなぐ．

水に蓄える量は $M g h = 2.0 \times 10^{4} J$ ．入力 $E_{入}$ の80 %がこの量なので $E_{入} = 2.0 \times 10^{4} / 0.80 = 2.5 \times 10^{4} J$ ．
発電量は $E_{回収} = 0.60 \times 2.0 \times 10^{4} = 1.2 \times 10^{4} J$ ．往復効率は $E_{回収} / E_{入} = 0.48$ ，すなわち48 %．これは $0.80 \times 0.60$ に等しい．
差の $1.3 \times 10^{4} J$ が内部エネルギーなどへ移る．ポンプでの $5.0 \times 10^{3} J$ と発電機での $8.0 \times 10^{3} J$ の和にも一致する．水が元の高さに戻っても，蓄電池は初めのエネルギーを取り戻せない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $60 kg$ の人が，標高差 $200 m$ を $1000 s$ で登る．登るために追加で消費する化学エネルギーのうち25 %が重力ポテンシャルの増加になるとする． $g = 10 m s^{- 2}$ ， $1 kcal = 4.0 \times 10^{3} J$ とする．

高さを得る仕事と平均仕事率を求めよ．
追加の化学エネルギー消費をジュールとキロカロリーで求めよ．
同じ時間に，生命維持などで別に平均 $80 W$ を消費するとき，化学エネルギー消費の総量はいくらか．

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考え方 効率の対象を「登るための追加分」に限定して計算する．問題で別に与えられた基礎的な消費を，後で一度だけ加える．

$W = m g h = 1.2 \times 10^{5} J$ ，平均仕事率は $W / t = 120 W$ ．これは重力に逆らう有用仕事についての値で，体内の総消費率ではない．
$E_{追加} = W / 0.25 = 4.8 \times 10^{5} J = 120 kcal$ となる．このうち $3.6 \times 10^{5} J$ は高さの増加には使われず，内部エネルギーなどへ移る．
別の消費は $80 \times 1000 = 8.0 \times 10^{4} J$ ．したがって総量は $5.6 \times 10^{5} J = 140 kcal$ ．このモデルでは平均の総消費率は $560 W$ になる．運動時間を変えると，(1) の仕事は同じでもこの別の消費量は変わるので，効率の定義を確認する必要がある．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の車が速さ $v_{0}$ で高さ $h$ の坂の上に入り，ふもとで速さ $v_{1}$ になる．この間，空気抵抗などが一定のエネルギー $D$ を奪い，残りの減少分は回生装置が受け取る．装置の入力の割合 $η$ が電池に蓄えられ，残りは装置の内部エネルギーになる．

回生装置への入力 $B$ と蓄電量を求めよ．
$m = 1000 kg$ ， $h = 20 m$ ， $v_{0} = 10 m s^{- 1}$ ， $v_{1} = 20 m s^{- 1}$ ， $D = 2.0 \times 10^{4} J$ ， $η = 0.60$ ， $g = 10 m s^{- 2}$ で計算せよ．
計算で $B < 0$ になった場合，この運転の説明は成立するか．

**［図：坂道での回生と速度変化］**
坂道での回生と速度変化．坂の上の車v₀と下の車v₁，高低差hを示し，回生装置から電池へ向かう流れと抵抗による損失Dを示す．

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考え方 坂を下っていても，速度の増加にエネルギーが使われる．位置エネルギーの減少を全て回収できるわけではない．

車の力学的エネルギーの減少は $m g h + \frac{1}{2} m (v_{0}^{2} - v_{1}^{2})$ ．したがって

B = m g h + \frac{1}{2} m (v_{0}^{2} - v_{1}^{2}) - D, E_{蓄電} = η B

である．回生であるためには $B \geq 0$ を満たさなければならない．

高さから $2.0 \times 10^{5} J$ を得る一方，運動エネルギーは $1.5 \times 10^{5} J$ 増える．よって $B = 3.0 \times 10^{4} J$ ，蓄電量は $1.8 \times 10^{4} J$ ．装置の内部エネルギー増加は $1.2 \times 10^{4} J$ で，抵抗による分と合わせて $3.2 \times 10^{4} J$ が蓄電以外へ移る．
成立しない．指定された終速にするには，回生で奪うのでなく外部からエネルギーを加える必要がある．負の蓄電量としてそのまま効率を掛けると，駆動と回生の定義を混同する．

ポイント教える人へ

温められる物体の質量と，動いていた物体の質量を区別させる．
効率の分母と分子を毎回言葉で確認するのがよい．
多段階の変換では，各段の出力が次の入力になる図を描かせる．
損失とは消滅ではないことを，全ての行き先の和で確認する．