仕事とエネルギー

エネルギーの諸形態の例題

著者：柚木芹香

エネルギーの量を実際に数えてみます．熱の量は $Q = m c Δ T$ ，運動エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2}$ ，仕事は力と距離の積で計算できます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $1.2 \times 10^{3} kg$ の車が時速 $72 km / h$ で走り，ブレーキで止まる．運動エネルギーはすべてブレーキの熱になり，その熱は4枚の鉄のディスク（合計 $20 kg$ ，比熱 $4.5 \times 10^{2} J {kg}^{- 1} K^{- 1}$ ）だけに入るものとする．

失われた運動エネルギーを求めよ．
ディスクの温度上昇を求めよ．
同じ車が2倍の速さ（時速 $144 km / h$ ）から止まるとき，温度上昇は何倍になるか．

**［図：ブレーキのディスクとパッド］**
ブレーキのディスクとパッド．走る車のブレーキ部分の模式図．車輪と一緒に回るディスクを2枚のパッドが両側から挟んでいる．パッドとディスクの接触面で熱が出て，ディスクの温度が上がることを矢印で示す．

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考え方 (1) は運動エネルギーの式に代入する．(2) は，その分が熱 $Q$ としてディスクに入ると考え， $Q = m c Δ T$ を $Δ T$ について解く．(3) は速さへの依存を見る．

$v = 72 km / h = 20 m s^{- 1}$ なので

K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 10^{3} \times 20^{2} = 2.4 \times 10^{5} J

$Q = K$ より

Δ T = \frac{Q}{m c} = \frac{2.4 \times 10^{5}}{20 \times 4.5 \times 10^{2}} \approx 27 K

である．実際は一部の熱が空気に逃げるので，これは上限の目安になる．

運動エネルギーは速さの2乗に比例するので，速さが2倍になると $K$ は4倍である． $Δ T$ も 4倍，約 $1.1 \times 10^{2} K$ になる．高速からの急ブレーキや長い下り坂でブレーキが過熱するのは，このためである．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

成人が1日に食べ物から得るエネルギーを $2000 kcal$ とし， $1 kcal = 4.2 \times 10^{3} J$ とする．

1日の平均の消費電力を求め， $100 W$ の電球と比べよ．
ご飯1杯のエネルギーを $250 kcal$ とする．体重 $60 kg$ の人がこのエネルギーを使って山を登るとき，何 $m$ 登れるか．筋肉が食べ物のエネルギーから仕事に変える効率を 25 % とする．

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考え方 (1) は1日のエネルギーを秒数で割る．(2) は，使える仕事を効率から求め，登る高さの位置エネルギー $m g h$ に等しいとおく．

$2000 kcal = 2000 \times 4.2 \times 10^{3} = 8.4 \times 10^{6} J$ ，1日は $86400 s$ なので

P = \frac{8.4 \times 10^{6}}{8.64 \times 10^{4}} \approx 97 W = 97 J s^{- 1}

である．安静にしている人は，ほぼ $100 W$ の電球1つ分の熱を絶えず出していることになる．

食べたエネルギーは $250 \times 4.2 \times 10^{3} = 1.05 \times 10^{6} J$ で，仕事に使えるのはその 25 % なので $2.6 \times 10^{5} J$ である．登る高さを $h$ とすると $m g h$ がこれに等しいので

h = \frac{2.6 \times 10^{5}}{60 \times 9.8} \approx 4.5 \times 10^{2} m

である．残りの 75 % は熱になり，体を温めて汗となって逃げる．ご飯1杯で標高差約 $450 m$ を登れる計算になる．

ポイントここまでのまとめ

質量 $M$ の物体の運動エネルギー $\frac{1}{2} M v^{2}$ がすべて，質量 $m$ の別の物体（ブレーキなど）の温度上昇に使われるなら， $\frac{1}{2} M v^{2} = m c Δ T$ から温度上昇が求まる．運動する物体と温められる物体が別なら $M$ と $m$ は異なる．速さが2倍だと，移るエネルギーも温度上昇も4倍になる．
人は食べ物の化学エネルギーを，1日平均で約 $100 W$ の割合で使っている．仕事に変わるのは効率の分だけで，残りは熱になる．