摩擦の演習

考え方 物体を止めるのは動摩擦力だけである．これが一定の力なので，等加速度運動として扱える．

滑っている間の垂直抗力は $N=mg$ で，動摩擦力は ${\mu }^{\prime }mg$，向きは運動と逆である．運動方向を正とすると，運動方程式は $ma=-{\mu }^{\prime }mg$ だから

止まるまでの時間は $t=v_0/({\mu }^{\prime }g)=6.0/2.94\approx 2.0\mathrm{s}$．距離は

である．質量 $m$ が消えるので，同じ初速度なら軽くても重くても同じ距離で止まる．

考え方 荷物に水平方向に働く力は，ベルトからの摩擦力だけである．ベルトに対して荷物は後ろへ滑るので，摩擦力は荷物を進行方向へ押す向きに働く．荷物の速さがベルトと同じになると，滑りがなくなって，摩擦力が変わる．

1. 滑っている間，荷物には前向きに ${\mu }^{\prime }mg$ の動摩擦力が働く．加速度は $a={\mu }^{\prime }g=0.40\times 9.8=3.92\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ である．ベルトの速さ $V=2.0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ に達する時間は

その間に荷物が地面に対して進む距離は ${\displaystyle \frac{V^2}{2a}}={\displaystyle \frac{4.0}{7.84}}\approx 0.51\mathrm{m}$ である．同じ時間にベルトは $Vt\approx 1.02\mathrm{m}$ 進むから，荷物がベルトに対して滑った距離はその差の約 $0.51\mathrm{m}$ である．速さが一致したあとは滑りがなく，荷物は等速で運ばれ，摩擦力は0になる．

2. 荷物の加速度は0なので，ベルトに沿って上向きの静止摩擦力 $f$ は，重力のベルトに沿う成分とつり合う．

滑らない条件 $f\le \mu N$ より，$\mu \ge \tan \theta$ である．これは，斜面の上で物体が静止していられる条件と同じである．

考え方 押し上げようとするとき，摩擦力は斜面に沿って下向きに働く．動き出す瞬間は静止摩擦力が限界，動いているときは動摩擦力である．

斜面に垂直な向きのつり合いより，$N=mg\cos {30}^{\circ }=10\times 9.8\times 0.866\approx 84.9\mathrm{N}$．重力の斜面に沿う成分は $mg\sin {30}^{\circ }=49\mathrm{N}$ である．

1. 押さないとき，静止に必要な摩擦力は $mg\sin {30}^{\circ }=49\mathrm{N}$，最大静止摩擦力は $\mu N=0.70\times 84.9\approx 59\mathrm{N}$ で，前者が小さいので静止している（$\mu =0.70>\tan {30}^{\circ }\approx 0.58$）．押し上げると摩擦力は減って向きが逆になり，動き出す直前は，押す力 $F_1$ が重力の成分に最大静止摩擦力を加えたものにつり合う．

2. 一定の速さで動いているときは加速度が0で，摩擦力は動摩擦力 ${\mu }^{\prime }N$ である．

動き出す力より，動いている間に必要な力の方が小さい．動き出す瞬間にだけ強い力が要ることは，冒頭の箪笥の例と同じである．

考え方 斜めに引くと，水平成分で箱を進めると同時に，鉛直成分で垂直抗力を減らして摩擦力を小さくする．この2つの効果の兼ね合いで，最適な角度が決まる．

1. 鉛直方向のつり合いから $N=mg-F\sin \phi$．水平方向の等速の条件から $F\cos \phi ={\mu }^{\prime }N$．$N$ を消去して

2. $F$ が最小になるのは，分母 $\cos \phi +{\mu }^{\prime }\sin \phi$ が最大のときである．三角関数の合成より

だから，$\phi ={\phi }_0$ のとき分母が最大値 $\sqrt{1+{\mu }^{\prime 2}}$ をとり

となる．最適な角は $\tan {\phi }_0={\mu }^{\prime }$ である．

3. ${\mu }^{\prime }=0.50$ のとき，$\tan {\phi }_0=0.50$ より ${\phi }_0\approx {27}^{\circ }$．$F_{min}/mg=0.50/\sqrt{1.25}\approx 0.45$ である．水平に引く場合は $F/mg=0.50$ だから，約 10 % だけ小さい力で済む．ただし $F\sin {\phi }_0<mg$ なので，箱が床から浮くことはない．

考え方 床が滑らかなので，床の摩擦は考えなくてよい．物体と板の間の摩擦力だけを考える．一体で動いている間の加速度は $F/(M+m)$ で，引く物体によって，どちらの物体が摩擦力だけで加速されるかが変わる．

垂直抗力（物体と板の間）は $N=mg=9.8\mathrm{N}$ で，最大静止摩擦力は $\mu N=0.40\times 9.8=3.92\mathrm{N}$ である．

1. 物体を引くとき，板を加速させるのは物体からの摩擦力 $f$ だけなので，$Ma=f$．一体の加速度は $a=F/(M+m)$ だから $f=MF/(M+m)$ となる．これが $\mu mg$ 以下であればよいので

2. 板を引くとき，物体を加速させるのは板からの摩擦力 $f$ だけなので，$ma=f$．$f=mF/(M+m)$ となる．これが $\mu mg$ 以下であればよいので

板を引く方が，物体を引くより約3倍の力まで一体で動く．

3. $20\mathrm{N}$ は (1) の限界 $5.2\mathrm{N}$ を超えるので，滑る．物体と板の間には動摩擦力 $f^{\prime }={\mu }^{\prime }mg=0.30\times 9.8=2.94\mathrm{N}$ が働く．物体は引かれる向きに $F-f^{\prime }$，板には引かれる向きに $f^{\prime }$ の力を受けるので

である．物体の方が大きな加速度をもつので，板の上を前へ滑っていく．