力と運動の法則

摩擦と三角関数の合成

著者：柚木芹香

斜めに引く力のように，角度で大きさが変わる量の最大・最小を調べるには，三角関数の合成が役に立ちます．まずその道具を用意し，そのあと摩擦の例題を解きます．合成は，演習の節で箱を斜めに引く問題などで使います．

定理数学の道具：三角関数の合成

$a \cos θ + b \sin θ$ （ $a, b > 0$ ）は，次のように1つの三角関数にまとめられる．

a \cos θ + b \sin θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ - α), \tan α = \frac{b}{a}

導出は， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ でくくり， $\cos α = a / \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\sin α = b / \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ となる $α$ をとって，加法定理 $\cos (θ - α) = \cos θ \cos α + \sin θ \sin α$ を使う．最大値は $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ （ $θ = α$ のとき）である．斜めに引く力の最適な角度のように，角度で変わる量の最大・最小を求めるときに使う．

練習 1． $\sqrt{3} \cos θ + \sin θ$ を $r \cos (θ - α)$ の形にし，最大値とそのときの $θ$ を求めよ．

練習 2． $3 \cos θ + 4 \sin θ$ の最大値と，そのときの $\tan θ$ を求めよ．

練習 3． $\cos θ + 0.50 \sin θ$ （ $0 \leq θ \leq 90^{\circ}$ ）の最大値と，そのときの $θ$ を求めよ（摩擦係数 $0.50$ の床で斜めに引くときに出てくる形）．

答え：(1) $r = \sqrt{3 + 1} = 2$ ， $\tan α = 1 / \sqrt{3}$ より $α = 30^{\circ}$ ．最大値は $2$ ，そのとき $θ = 30^{\circ}$ ．(2) $\sqrt{9 + 16} = 5$ ， $\tan θ = \frac{4}{3}$ （ $θ \approx 53^{\circ}$ ）．(3) $\sqrt{1 + 0.25} \approx 1.12$ ， $\tan θ = 0.50$ より $θ \approx 27^{\circ}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

粗い板の上に物体を置き，板をゆっくり傾けていくと，傾きが $30^{\circ}$ になったとき物体が滑り出した．

物体と板の間の静止摩擦係数 $μ$ を求めよ．
滑り出したあと，傾きを $30^{\circ}$ に保っておく．物体と板の間の動摩擦係数が $μ^{'} = 0.50$ のとき，物体の加速度の大きさと， $2.0 m$ 滑り下りたときの速さを求めよ．

解答を見る

**［図：傾き 30° の板の上の物体に働く力］**
傾き 30° の板の上に質量 m の物体がある．板に沿って下向きに x 軸，板に垂直に y 軸をとる．物体には，鉛直下向きの重力 mg，板に垂直な垂直抗力 N，板に沿って上向きの摩擦力が，赤い矢印で働いている．

考え方 滑り出す直前は，静止摩擦力がちょうど限界 $μ N$ に達している．滑り出したあとは，摩擦力が動摩擦力 $μ^{'} N$ に変わる．どちらも，板に垂直な向きのつり合いから $N = m g \cos θ$ が使える．

滑り出す直前に，静止摩擦力が最大値になっているので， $μ = \tan θ_{0}$ であり

μ = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.58

滑っている間は，板に垂直な向きは $N = m g \cos 30^{\circ}$ で，摩擦力は板に沿って上向きの $μ^{'} N$ である．板に沿って下向きを正とした運動方程式は

m a = m g \sin 30^{\circ} - μ^{'} m g \cos 30^{\circ}

a = g (\sin 30^{\circ} - μ^{'} \cos 30^{\circ}) = 9.8 \times (0.50 - 0.50 \times 0.866) \approx 0.66 m s^{- 2}

静止状態から $2.0 m$ 滑り下りたときの速さは $v = \sqrt{2 a L} = \sqrt{2 \times 0.66 \times 2.0} \approx 1.6 m s^{- 1}$ である．

$μ^{'} = 0.50$ は $μ \approx 0.58$ より小さく， $μ^{'} \leq μ$ を満たしている．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

水平な床の上に質量 $M = 4.0 kg$ の板があり，その上に質量 $m = 1.0 kg$ の物体が載っている．板に水平方向の力 $F$ を加えて引く．床と板の間の静止摩擦係数は $μ_{1} = 0.30$ ，動摩擦係数は $μ_{1}^{'} = 0.25$ で，板と物体の間の静止摩擦係数は $μ_{2} = 0.40$ である．

板と物体が動き出す（静止状態でなくなる）ための $F$ の条件を求めよ．
板と物体が一体となって動く（物体が板の上で滑らない）ための $F$ の条件を求めよ．

**［図：床の上の板と物体を引く］**
水平な床の上に質量 M の板があり，その上に質量 m の物体が載っている．板に水平右向きの力 F（赤い矢印）が加わっている．床と板の間の静止摩擦係数は μ1，動摩擦係数は μ1′，板と物体の間の静止摩擦係数は μ2．

解答を見る

考え方 動き出すのは，床と板の間の静止摩擦力が限界に達したときである．一体で動いている間は，物体を加速させる力は，板から受ける静止摩擦力だけである．その大きさが $μ_{2} N$ 以下であることが，滑らない条件になる．

床と板の間の垂直抗力は，板と物体をあわせた重力を支えるので $N_{1} = (M + m) g$ である．動き出すには $F$ が床との静止摩擦力の最大値を超える必要があるので

F > μ_{1} (M + m) g = 0.30 \times 5.0 \times 9.8 = 14.7 N

一体で動く間の加速度を $a$ とする．床との摩擦は動摩擦力 $μ_{1}^{'} N_{1}$ になっているので，板と物体の全体の運動方程式は

(M + m) a = F - μ_{1}^{'} (M + m) g ∴ a = \frac{F}{M + m} - μ_{1}^{'} g

物体にだけ注目すると，物体を加速させるのは板からの静止摩擦力 $f_{2}$ だけなので $m a = f_{2}$ ．滑らない条件 $f_{2} \leq μ_{2} m g$ より， $a \leq μ_{2} g$ である．これに上の $a$ を入れて

\frac{F}{M + m} - μ_{1}^{'} g \leq μ_{2} g ∴ F \leq (μ_{1}^{'} + μ_{2}) (M + m) g = 0.65 \times 5.0 \times 9.8 \approx 32 N

以上から，一体で動く条件は $14.7 N < F \leq 32 N$ である． $F$ が $32 N$ を超えると，物体は板の上で滑り始める．

なお，この範囲が存在するには $μ_{1}^{'} + μ_{2} > μ_{1}$ が必要である．

ポイントここまでのまとめ

$a \cos θ + b \sin θ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ - α)$ （ $\tan α = b / a$ ）で，最大値は $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ である．
斜面で滑り出した直後は，限界の静止摩擦力 $μ N$ から動摩擦力 $μ^{'} N$ に変わり，加速度は $a = g (\sin θ - μ^{'} \cos θ)$ となる．
重ねた物体では，面ごとに滑るかどうかを調べる．上の物体を加速するのは下の物体からの静止摩擦力だけなので，滑らない条件は $a \leq μ_{2} g$ である．