力と運動の法則

摩擦

著者：柚木芹香

問い

重い箪笥を床の上で押しても，なかなか動きません．ところが，いちど動き出すと，押す力が小さくて済むようになります．

動き出す前，箪笥を押す力が強くなっても動かないのは，なぜでしょうか．
床が箪笥に及ぼす摩擦力は，いつでも「摩擦係数 $\times$ 垂直抗力」でしょうか．

考えてみる

箪笥が動かないなら加速度は0で，合力も0です．押す力と同じ大きさで逆向きの力が，床から働いているはずです．力を強めても動かないなら，その逆向きの力も強まっています．つまり，動き出す前の摩擦力は，あらかじめ決まった大きさをもつのではなく，押す力に合わせて必要なだけ現れています．垂直抗力と同じ，受け身の力です．

ただし，この力にも限りがあります．押す力がある大きさを超えると，箪笥は動き出します．そして動き出してからの摩擦力は，動き出す直前の限界よりも小さくなります．押す力が小さくて済むのはそのためです．

この結果は，ばねばかりで物体を水平に引く実験で確かめられます．引く力を0から次第に大きくしていくと，物体が動き出すまでは目盛りが増えていき（静止摩擦力が引く力につり合っている），動き出す瞬間に目盛りが少し下がって，その後はほぼ一定になります．

［図：引く力と摩擦力のグラフ］

横軸が引く力 F，縦軸が摩擦力 f のグラフ．原点から傾き1の直線で，F が限界 μN に達するまで f は F に等しく増える．そこで物体が動き出し，f は少し低い一定の動摩擦力 μ′N に下がる．スライダーで引く力を0から大きくすると，いまの点と，静止か滑っているかの状態が表示される．初期状態は静止摩擦力の途中．

したがって，冒頭の問いの答えは次のとおりです．動き出す前は，摩擦力が押す力に合わせて現れるので，押しても動きません．摩擦力はいつでも「係数 $\times$ 垂直抗力」なのではありません．静止摩擦力が $μ N$ になるのは動き出す限界の瞬間だけで，すでに滑っているときは動摩擦力 $μ^{'} N$ になります．

静止摩擦と動摩擦

法則摩擦力の法則

面に接している物体について，垂直抗力の大きさを $N$ とする．

静止摩擦力 は，物体が面に対して滑っていない間，面に沿って働き，運動方程式から決まる大きさをとる．その大きさ $f$ には上限があり

0 \leq f \leq μ N

である． $μ$ を静止摩擦係数という．

動摩擦力 は，物体が面に対して滑っている間，滑る向きと逆向きに働き，大きさは

f^{'} = μ^{'} N

である． $μ^{'}$ を動摩擦係数といい，速さや接触面積にはほとんどよらない．同じ面の組合せでは $μ^{'} \leq μ$ であることが多い．

この法則は実験でわかった近似の関係で，厳密な原理ではありませんが，ふつうの固体の面ではよく成り立ちます．

摩擦の向き

摩擦力の向きは，「物体の運動と逆」とは限りません．正確には，接触している2つの面の相対的な運動を妨げる向きです．

たとえば，ベルトコンベアに乗った荷物を前に運ぶのは，ベルトからの摩擦力です．地面を蹴って歩く人が前に進めるのも，足と地面の間の静止摩擦力のおかげです．摩擦力は物体を止めるだけでなく，動かす力にもなります．

摩擦力にも反作用があります．床が箪笥に及ぼす摩擦力の反作用は，箪笥が床に及ぼす摩擦力で，床に働きます．歩く人では，地面が足に前向きの静止摩擦力を及ぼし，足は地面に後ろ向きの摩擦力を及ぼします．すると地球は，歩く人と逆向きにわずかに加速しているはずです．その加速度がどれくらいか，「作用と反作用」の節の地球とリンゴの計算にならって見積もってみてください．

摩擦の微視的な由来

「作用と反作用」の節の終わりに，箪笥を押しても動かないとき，床が箪笥を押し返す横向きの力はどの原子の組から生まれるか，という問いを残しました．自分の予想を思い出してから読んでください．

面は，どんなに磨いても原子の大きさで見ればでこぼこです．2つの面が実際に接しているのは，見かけの面積よりはるかに小さな点の集まりで，そこでは原子どうしが引き合って付着しています．

**［図：接している面を拡大すると］**
上下の物体の接する面は原子の大きさで見ると凹凸があり，実際に触れているのは3か所の突起の先だけで，ほかの所にはすき間がある．上の物体が右へ押されると，接点をまたぐ結合が横に引きのばされ，上の原子には左向き，下の原子には右向きの摩擦力が大きさを等しくして働く．

この図から，静止摩擦力が「必要なだけ」現れる理由が見えてきます．箪笥を横へ押すと，接点の原子どうしの結合が横へわずかに引き伸ばされ，元に戻ろうとして押す向きと逆に引き返します．押す力を強めると結合はもっと伸び，引き返す力も強くなります．垂直抗力のときに面の結合が縮んだのと同じしくみで，向きが面に沿っているだけです．ただし，結合の伸びには限りがあり，伸びきると接点がちぎれて，箪笥は滑り出します．これが静止摩擦力の上限です．接点の原子の組は1組ずつ作用反作用の対になっているので，箪笥が床から受ける摩擦力と，床が箪笥から受ける摩擦力は，大きさが等しく逆向きです．

押しつける力を増やすと，でこぼこの先がつぶれて，実際の接触面積がほぼそれに比例して増え，ちぎるべき接点も増えます．これが，摩擦力が垂直抗力 $N$ に比例する理由のごく簡単な説明です．見かけの接触面積によらないのも，同じ理由です．見かけの面積を2倍にしても，同じ重さなら1か所あたりの押しつけが半分になり，実際に接している面積の合計はほとんど変わりません．

動き出すと摩擦が小さくなる理由は，この簡単な絵だけでは説明しきれず，今も研究が続いています．滑っている間は接点がちぎれては付き直すことを繰り返していて，静止しているときほど付着が育つ時間がない，というのが1つの見方です．

斜面で滑り出す角

粗い斜面の上に物体を置いて，斜面を少しずつ傾けていきます．物体が静止しているうちは，斜面に沿った向きのつり合いより，摩擦力は $f = m g \sin θ$ ，垂直抗力は $N = m g \cos θ$ です．傾きを増やすと $f$ は増え， $N$ は減ります． $f$ が限界 $μ N$ に達する瞬間に物体は滑り出します．その角を $θ_{0}$ とすると

m g \sin θ_{0} = μ m g \cos θ_{0} ∴ μ = \tan θ_{0}

となります．質量 $m$ が消えているので，この角は物体の重さによりません．斜面を傾けるだけで，静止摩擦係数がはかれます．一定の速さで滑り下りる傾きを調べれば，動摩擦係数も $μ^{'} = \tan θ$ ではかれます．

摩擦の問題の解き方

摩擦の問題では，最初に「滑っているのか，滑っていないのか」がわかりません．そこで，次の手順をとります．

ポイント摩擦の問題の手順

滑っていないと仮定して，静止摩擦力 $f$ を運動方程式から求める（加速度が0ならつり合いの式になる）．
$f \leq μ N$ を確かめる．はじめに面に対して静止していた（相対速度が0だった）物体なら，満たしていれば仮定が正しく，この $f$ が答えである．
満たしていなければ仮定が誤り．また，はじめから面に対して動いている物体は，この判定をせず滑っているとみなす．滑っているとして，摩擦力を $μ^{'} N$ （向きは相対運動と逆）に置き直して解く．

重ねた物体や斜面上で動く物体では，どの面で滑るのかが複数の可能性をもちます．その場合は，面ごとに「滑るかどうか」を調べます．

ポイントここまでのまとめ

静止摩擦力は運動方程式から決まる「必要なだけ」の力で，上限は $0 \leq f \leq μ N$ ．動摩擦力は滑る向きと逆向きに $f^{'} = μ^{'} N$ である．
問いの答えは，動き出す前は押す力に合わせて摩擦力が増えるので動かない，摩擦力が係数 $\times$ 垂直抗力になるのは，静止摩擦力が限界の $μ N$ に達した瞬間と，滑っているときの $μ^{'} N$ だけ，である．
摩擦力の向きは相対運動を妨げる向きで，物体を動かす力にもなる．摩擦力にも，相手の面に働く反作用がある．
摩擦力と垂直抗力は，接点で向かい合う原子の組の電気の力を，面に沿う向きと垂直な向きに分けたものである．静止摩擦力が必要なだけ現れるのは，接点の結合が横に伸びて引き返すからで，伸びきって接点がちぎれると滑り出す．
斜面を傾けて滑り出す角から $μ = \tan θ_{0}$ が得られ，質量によらない．
解くときは，滑っていないと仮定して $f \leq μ N$ を確かめ，だめなら動摩擦力に置き直す．