力と運動の法則

垂直抗力と張力の演習

著者：柚木芹香

斜面，吊るした物体，綱引き，糸でつながれた物体，動滑車を使って，垂直抗力と張力を求める練習をします．式を立てる前に，自由体図と束縛条件を整えてから解答を見てください．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

傾き $30^{\circ}$ の滑らかな斜面の上で，長さ $2.0 m$ の距離を静止状態から滑り下りる物体がある．滑り下りるのに要する時間と，その時の速さを求めよ．

**［図：斜面を滑る物体］**
30°の斜面に沿う下向きの軸と，滑る距離2.0 mを示す．

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考え方 滑らかな斜面での加速度は $g \sin θ$ である．これが一定なので，等加速度運動の式が使える．

加速度は $a = g \sin 30^{\circ} = 4.9 m s^{- 2}$ である． $L = \frac{1}{2} a t^{2}$ より

t = \sqrt{\frac{2 L}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 2.0}{4.9}} \approx 0.90 s

速さは

v = a t \approx 4.9 \times 0.90 \approx 4.4 m s^{- 1}

となる．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

天井から軽い糸で質量 $m_{1}$ の球を吊るし，その下に別の軽い糸で質量 $m_{2}$ の球を吊るして静止させた．上の糸の張力 $T_{1}$ と下の糸の張力 $T_{2}$ を，それぞれの球の自由体図から求めよ．

**［図：二本の糸と二つの球］**
天井から二つの球を直列に吊るす．T₁とT₂はそれぞれの糸の張力の記号である．

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考え方 球を1つずつ別の物体として選び，それぞれについてつり合いを立てる．下の球は，下の糸だけに支えられている．

下の球（質量 $m_{2}$ ）には，重力 $m_{2} g$ （下向き）と，下の糸の張力 $T_{2}$ （上向き）が働く．静止しているので

T_{2} = m_{2} g

上の球（質量 $m_{1}$ ）には，重力 $m_{1} g$ （下向き），上の糸の張力 $T_{1}$ （上向き），そして下の糸が球を引き下ろす力が働く．下の糸が下の球を引く力の反作用は，下の球が下の糸を引く力で，糸に働く．上の球を引き下ろすのは，下の糸のもう一方の端である．下の糸は軽いので，糸の運動方程式から両端の力は等しく，上の球も下の糸から下向きに $T_{2}$ で引かれる．したがって

T_{1} = m_{1} g + T_{2} = (m_{1} + m_{2}) g

となる．上の糸は，上下の球をあわせた重力を支えている．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

滑らかな水平面の上に，質量 $2.0 kg$ の物体Aと，質量 $3.0 kg$ の物体Bが軽い糸でつながって一直線に置かれている．

Bを糸と逆の向きに水平な一定の力 $10 N$ で引いたときの加速度と，糸の張力を求めよ．
この糸は $6.0 N$ を超えると切れる．Bを引く力の大きさは，いくらまで大きくできるか．
力を加える物体をAにかえたときは，いくらまで大きくできるか．

**［図：糸でつながれた二物体］**
水平面上のAとBを糸でつなぎ，Bを右向きの力Fで引く．

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考え方 糸が張っている間，2つの物体は同じ加速度で動く．全体の運動方程式から加速度を求め，糸でつながれた一方の物体の運動方程式から張力を求める．

2つの物体の全体について， $F = (m_{A} + m_{B}) a$ だから

a = \frac{F}{m_{A} + m_{B}} = \frac{10}{5.0} = 2.0 m s^{- 2}

糸が引くのはAだけを加速させる力なので， $T = m_{A} a = 2.0 \times 2.0 = 4.0 N$ である．

張力は $T = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B}} F$ と表され， $F$ に比例する． $T \leq 6.0 N$ だから

F \leq 6.0 \times \frac{5.0}{2.0} = 15 N

力を加える物体がAのとき，糸が加速させるのはBであり， $T = \frac{m_{B}}{m_{A} + m_{B}} F$ となる． $T \leq 6.0 N$ より

F \leq 6.0 \times \frac{5.0}{3.0} = 10 N

Aを引くと，糸が加速させるのは重いBなので，同じ $F$ でも張力が大きくなり，限界の $F$ が小さくなる．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

左右のチームが，軽い綱を引き合う綱引きをしている．綱はまだ動いていない（両チームは静止している）．左チームが地面から受けられる静止摩擦力の最大値の合計は $2400 N$ ，右チームは $2000 N$ であるとする．

静止している間，綱の張力 $T$ と，左右のチームが地面から受ける摩擦力の関係を述べよ．
引く力を徐々に強めていったとき，どちらのチームが先に滑り出すか．そのときの綱の張力の大きさはいくらか．
「引く力が強い方が勝つ」という言い方は，どの点が不正確か．

**［図：綱を引く二つのチーム］**
二つのチームと軽い綱を示す．綱の張力Tと地面から受ける静止摩擦力を示す．

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軽い綱の両端の張力は等しく，これを $T$ とする．左チームの全員に働く水平方向の力は，綱から受ける力 $T$ （綱に引かれる向き）と，地面から受ける静止摩擦力の2つで，静止しているのでこれらはつり合う．したがって，左チームが受ける摩擦力の大きさは $T$ ，右チームも同様に $T$ である．
摩擦力が最大値を超えられないので，張力 $T$ が右チームの最大値 $2000 N$ に達した時点で，右チームが先に滑り出す．このとき左チームは， $2400 N$ までの余裕を残している．張力の大きさは $2000 N$ である．
綱から受ける力の大きさは，どちらのチームにとっても同じ $T$ である（第3法則）．勝敗を決めているのは，「どれだけ強く引くか」ではなく，「地面からどれだけ大きな静止摩擦力を受けられるか」である．体重の大きなチームが有利なのは，地面を押す力（垂直抗力）が大きく，最大静止摩擦力も大きくなるからである．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

滑らかな水平な机の上に質量 $m$ の物体Aがあり，軽い糸で机の端の滑らかな滑車を越えて下に垂れる．糸はそこから，質量 $M$ の物体Bを吊るした動滑車の下をくぐって上に戻り，端が天井に固定されている．Aと机の端の滑車の間の糸は水平で，机の端の滑車と動滑車の間，動滑車と天井の間の糸はどちらも鉛直である．動滑車の質量は無視でき，糸はつねに張っているとする．

Aの加速度の大きさ $a_{A}$ とBの加速度の大きさ $a_{B}$ の間の関係を，糸の長さが一定という条件から導け．
$a_{B}$ と糸の張力 $T$ を求めよ．
$m = 0.50 kg$ ， $M = 2.0 kg$ のときの $a_{A}$ と $T$ の値を求めよ．

**［図：机の上の物体と動滑車］**
水平な机の上に質量 m の物体 A があり，水平な糸が机の端の定滑車を越えて下に降りる．糸は，質量 M の物体 B を吊るした動滑車の下をくぐって上に戻り，端が天井に固定されている．

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考え方 糸の長さが一定という条件から，AとBの加速度の関係を作る．軽い動滑車に働く力はつり合っているので，Bを引く力は $2 T$ である．

机の端の滑車から物体Aまでの距離を $x$ ，動滑車の中心の天井からの深さを $y$ とする．糸は，Aから机の端の滑車まで長さ $x$ ，机の端の滑車から動滑車まで下がる部分と，動滑車から天井まで上がる部分で，あわせて $2 y$ に定数を加えた長さになるので，全長は $x + 2 y + （定数）$ であり，これが一定である．2回微分して $a_{x} + 2 a_{y} = 0$ ．Bが下に $d$ 動くと，Aは $2 d$ だけ滑車の方へ動くので，大きさについて

a_{A} = 2 a_{B}

Bについて，下向きを正にして $M a_{B} = M g - 2 T$ ．Aについて，糸の向きを正にして $m a_{A} = T$ ．これに $a_{A} = 2 a_{B}$ を代入すると $T = 2 m a_{B}$ となるから

M a_{B} = M g - 4 m a_{B} \Rightarrow a_{B} = \frac{M}{M + 4 m} g, T = \frac{2 m M}{M + 4 m} g

$a_{B} = \frac{2.0}{2.0 + 2.0} \times 9.8 = 4.9 m s^{- 2}$ だから， $a_{A} = 2 a_{B} = 9.8 m s^{- 2}$ ， $T = 2 m a_{B} = 2 \times 0.50 \times 4.9 = 4.9 N$ である．確認：Bに対して $M a_{B} = 19.6 - 2 T = 9.8$ となり， $a_{B} = 4.9 m s^{- 2}$ と一致する．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

傾き $θ$ の滑らかな斜面を持つ台があり，斜面上の質量 $m$ の物体は，斜面に平行な軽い糸で斜面の上端につながれている．台を水平方向に加速させる．台の加速度は，斜面が上がっていく向きの水平方向に向けて $A$ とする（斜面が下がる向きではない）．ただし台と物体は，台に対して静止したまま動くとする．

垂直抗力 $N$ と張力 $T$ を $A$ の関数で表せ．
物体が斜面から離れる $A$ の条件と，その直前の張力を求めよ．

**［図：加速する台の斜面上の物体］**
右上がりの斜面をもつ台の上に，質量 m の物体がある．物体は斜面に平行な糸で斜面の上端につながれている．斜面の傾きは θ．台は斜面が上がっていく向き（右向き）に加速度 A（緑の矢印）で動く．

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考え方 物体は台と一緒に，水平方向（斜面が上がっていく向き）に加速度 $A$ で動く．慣性の法則が成り立つ地面の観測者の立場で，物体に働く力を数え，水平・鉛直成分で運動方程式を立てる．

水平方向右を $x$ ，鉛直上向きを $y$ とする．斜面が右上がりなので，斜面に沿って上向きの単位ベクトルは $(\cos θ, \sin θ)$ ，面に垂直で外向きの単位ベクトルは $(- \sin θ, \cos θ)$ である．物体には，張力 $T$ （斜面に沿って上向き），垂直抗力 $N$ （面に垂直で外向き），重力 $m g$ （下向き）が働く．

\begin{aligned} x 方向： & - N \sin θ + T \cos θ = m A \\ y 方向： & N \cos θ + T \sin θ - m g = 0 \end{aligned}

$N$ を求めるには，第1式に $- \sin θ$ ，第2式に $\cos θ$ をかけて足す． $T$ を消去できて

N = m (g \cos θ - A \sin θ)

$T$ を求めるには，第1式に $\cos θ$ ，第2式に $\sin θ$ をかけて足す．

T = m (g \sin θ + A \cos θ)

物体が面から離れる条件は $N = 0$ であり， $g \cos θ - A \sin θ = 0$ より

A = \frac{g}{\tan θ}

すなわち，台の加速度が $A \geq g / \tan θ$ になると，物体は斜面から離れる．離れる直前の張力は $T = m (g \sin θ + \frac{g \cos^{2} θ}{\sin θ}) = \frac{m g}{\sin θ}$ である． $A = 0$ とすると $N = m g \cos θ$ ， $T = m g \sin θ$ となり，台が静止しているときの結果に戻る．

演習 7

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面上に，質量 $m_{1} = 2.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ ， $m_{3} = 5.0 kg$ の3つの物体が一列に並び，隣どうしが軽い糸でつながれている（糸1-2は物体1と2の間，糸2-3は物体2と3の間）．糸が耐えられる張力の上限は，糸1-2が $9.0 N$ ，糸2-3が $30 N$ である．

物体3を糸の方向に水平な力 $F$ で引くとき，各糸の張力を $F$ で表せ．
糸が切れない $F$ の最大値と，先に切れる糸を答えよ．
今度は，物体1を，物体2のある側と反対の向きに力 $F$ で引くとき，糸が切れない $F$ の最大値を求めよ．

**［図：糸でつながる三物体］**
物体1，2，3と，糸1–2，糸2–3，右端を引く力Fを示す．

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考え方 全体の加速度は系全体で求め，糸の張力は糸の先にある物体の運動方程式から求める．軽い糸の両端の張力は等しい．

全体の質量は $10 kg$ なので，加速度は $a = F / 10$ である．糸2-3の張力 $T_{23}$ は，物体1と物体2を加速させる力なので， $(m_{1} + m_{2}) a = 5.0 \times F / 10 = 0.50 F$ である．糸1-2の張力 $T_{12}$ は，物体1だけを加速させる力なので， $m_{1} a = 2.0 \times F / 10 = 0.20 F$ である．
$T_{12} \leq 9.0$ より $F \leq 45 N$ ， $T_{23} \leq 30$ より $F \leq 60 N$ である．よって $F$ の最大値は $45 N$ で，先に切れるのは糸1-2である．
物体1を引くとき，加速度は同じ $a = F / 10$ である．糸1-2の張力は，物体2と3を加速させる力で， $T_{12} = (m_{2} + m_{3}) a = 8.0 \times F / 10 = 0.80 F$ である．糸2-3の張力は，物体3だけを加速させる力で， $T_{23} = m_{3} a = 0.50 F$ である． $0.80 F \leq 9.0$ より $F \leq 11.25 N$ ， $0.50 F \leq 30$ より $F \leq 60 N$ である．よって $F$ の最大値は約 $11 N$ で，糸1-2から切れる．

引く側に近い糸ほど，その先に続く物体の質量が大きいので，大きな張力を受ける．(2) と (3) で最大の $F$ が大きく異なるのは，このためである．

ポイント教える人へ

エレベーターの問いでは，予想を先に言わせる．「重く感じる」のは，体重計が人を押す力が増えたからだと言葉にできれば，垂直抗力は「必要なだけ働く」ことが伝わっている．
よくあるつまずきは，垂直抗力を常に $m g$ とおいてしまうことである．斜面や加速する床では $m g$ にならない．「この面は，物体に何をさせようとしているのか」と問う．
アトウッドの機械や動滑車の問題では，式を立てる前に「糸の長さが一定」から加速度の関係を作る習慣をつけさせる．未知数と式の数を数える確認も有効である．
確かめとして，「軽い糸の張力が両端で同じ」理由を，糸の一部の運動方程式で説明させる．
2つの球を糸で直列に吊るす問題では，「下の糸が上の球を引く力は，下の糸が下の球を引く力の反作用」という誤りが多い．反作用はいつも同じ2物体の間の力であることを確かめ，糸の両端の力が等しいのは糸の運動方程式によることを言わせる．
動滑車の問題では，「Bが $d$ 下がるとAはどれだけ動くか」を先に言わせると，束縛条件の立て間違いが減る．