力と運動の法則

束縛条件とアトウッドの機械

著者：柚木芹香

前の節で学んだ垂直抗力と張力を使って，糸でつながれた物体の運動を調べます．鍵になるのは，糸の長さが一定という束縛条件です．例題1では，その前に，ロープでつながった馬と荷車で，軽いロープが力をそのまま伝えることと，作用反作用の対の見分け方を確かめます．

数学の道具

**［図：動滑車と定滑車を通る糸］**
糸の一端は天井に固定され，動滑車の下をくぐって上に戻り，天井の定滑車を越えて下がり，質量 m2 の物体につながる．動滑車には質量 m1 の物体が吊るされている．天井から動滑車の中心までの距離 x1 と，定滑車から物体までの距離 x2 を，ともに下向きに測る．糸は動滑車の両側で2本の線になる．

定理数学の道具：束縛条件（糸の長さと加速度の関係）

物体どうしが糸でつながれていたり，面に沿って動いたりするとき，それぞれの加速度は独立ではなく，関係をもつ．この関係を作る基本は，糸の長さが一定ということである．

定滑車　固定された滑車にかけた糸の両端の物体の位置を，下向きに $x_{1}$ ， $x_{2}$ と測る．糸の長さが一定なので $x_{1} + x_{2} = 一定$ である．時間で2回微分すると $a_{1} + a_{2} = 0$ となり，一方が下がると，他方は同じだけ上がる．

動滑車　天井に一端を固定した糸を動滑車の下にくぐらせ，反対側を天井の高さにある定滑車を通して別の物体につなぐ（上の図）．天井から動滑車の中心までの距離を $x_{1}$ ，定滑車から物体までの距離を $x_{2}$ とすると，糸は動滑車の両側で2本の線になるので，全長は $2 x_{1} + x_{2} + （一定）$ である．微分して

2 a_{1} + a_{2} = 0

となる．動滑車に吊るされた物体が $d$ 下がると，反対側の物体は $2 d$ 上がる．また，質量の無視できる動滑車は張力 $T$ の糸2本に上向きに引かれてつり合うので，吊るされた物体を引き上げる力は $2 T$ である．

手順

動く物体の位置を同じ向きの座標で表す．
糸の長さが一定という条件や，面から離れないという条件を，位置の式として書く．
その式を時間で2回微分して，加速度の関係を得る．
各物体の運動方程式と連立させる．未知数（加速度と力）の数と，式の数を数えて確かめる．

練習． (1) 上の動滑車の装置で，動滑車に吊るされた物体が下向きに $0.50 m s^{- 2}$ で加速している．反対側の物体の加速度を求めよ．(2) 同じ装置で，反対側の物体を一定の速さ $0.60 m s^{- 1}$ で引き下ろすと，動滑車に吊るされた物体はどの向きに，どれだけの速さで動くか．

答え：(1) $2 a_{1} + a_{2} = 0$ より $a_{2} = - 1.0 m s^{- 2}$ ，すなわち上向きに $1.0 m s^{- 2}$ ．(2) $2 v_{1} + v_{2} = 0$ で $v_{2} = + 0.60 m s^{- 1}$ （下向き）なので $v_{1} = - 0.30 m s^{- 1}$ ，上向きに $0.30 m s^{- 1}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m_{h} = 400 kg$ の馬が，質量 $m_{c} = 200 kg$ の荷車を，水平な地面の上で軽いロープで引いている．荷車は地面から進行方向と逆向きに一定の抵抗力 $f = 300 N$ を受ける．馬と荷車は，進行方向に加速度 $a = 0.50 m s^{- 2}$ で動いている．ロープが荷車を引く力の大きさを $T$ ，地面が馬に及ぼす前向きの力の大きさを $R$ とする．ロープは軽く，馬の足以外の地面の力は無視する．

$T$ を求めよ．
$R$ を求めよ．
荷車が馬を引き返す力の大きさは， $T$ と比べてどうか．それなのに加速できる理由を，一文で述べよ．

**［図：馬と荷車］**
馬がロープで荷車を引く．荷車の抵抗f，張力T，地面が馬を押す力Rを示す．

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考え方 馬と荷車をそれぞれ別の物体として扱い，それぞれに運動方程式を立てる．進行方向を正とする．

荷車に働く水平方向の力は，前向きの $T$ と，後ろ向きの $f$ である．運動方程式は $m_{c} a = T - f$ なので

T = f + m_{c} a = 300 + 200 \times 0.50 = 400 N

である．

馬に働く水平方向の力は，前向きの $R$ と，ロープが馬を引き返す後ろ向きの力である．ロープが荷車を引く力の反作用は，荷車がロープを引く力で，ロープに働く．ロープが軽いので，ロープの運動方程式から，ロープの両端に働く力は等しい（この節の本体）．よって，ロープが馬を引き返す力の大きさも $T$ である．運動方程式は $m_{h} a = R - T$ なので

R = T + m_{h} a = 400 + 400 \times 0.50 = 600 N

である．

荷車は，ロープを通じて馬を $T$ ，すなわち $400 N$ で引き返していて，馬がロープを通じて荷車を引く力と大きさが等しい．馬と荷車は直接触れていないので，この2力は作用反作用の対そのものではない．「荷車とロープ」「ロープと馬」の2組の対と，軽いロープの運動方程式を合わせて，等しいといえる．それでも加速できるのは，この2つの力が別々の物体に働いており，馬には地面から受ける前向きの力 $R = 600 N$ も働いているからである．

検算として，系全体で考える．外力は $R - f = 600 - 300 = 300 N$ ，一方 $(m_{h} + m_{c}) a = 600 \times 0.50 = 300 N$ で，確かに一致する．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

軽い糸の両端に質量 $M$ と $m$ （ $M > m$ ）の物体をつけ，固定された滑らかな滑車にかけたものを，アトウッドの機械という．静かに放したときの加速度の大きさ $a$ と，糸の張力 $T$ を求めよ．また， $M = m$ と $M ≫ m$ の場合を調べよ．

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［図：アトウッドの機械］

天井から吊るした滑らかな定滑車に軽い糸がかかり，左端に質量 M の物体，右端に質量 m の物体がついている．M の方が重く，M が下がる向きに加速度 a（緑）で動く．糸の張力 T は両側で同じ大きさで，M には重力 Mg が下向きに，T が上向きに働き，Mg の方が大きい．m では T の方が mg より大きい．スライダーで M と m の比を変えると，力の矢印の長さと a，T の値が変わり，比が 1 のとき a は 0，比が大きいほど a は g に近づく．

考え方 $M$ が下向きに加速度 $a$ で動くとき，糸は伸びないので， $m$ は同じ大きさ $a$ で上向きに動く（束縛条件）．軽い糸の張力は，糸のどこでも同じ $T$ である．

$M$ は下向き， $m$ は上向き（それぞれ動く向き）を正として，運動方程式は

M a = M g - T, m a = T - m g

である．2式を足すと $T$ が消えて $(M + m) a = (M - m) g$ となり，

a = \frac{M - m}{M + m} g, T = \frac{2 M m}{M + m} g

を得る． $M = m$ なら $a = 0$ ， $T = m g$ で，つり合っている． $M ≫ m$ なら $a \to g$ で， $M$ は自由落下に近くなり，張力は $T \to 2 m g$ である．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

軽い糸の両端に質量 $0.30 kg$ と $0.20 kg$ の物体をつけ，固定された滑らかな滑車にかけた．はじめ2つの物体は同じ高さで静止している．静かに手を離すと，重い方の物体が降下し始める．

加速度の大きさと，糸の張力を求めよ．
重い方の物体が，はじめの位置から $0.50 m$ 下がるまでの時間を求めよ．
滑車を吊るしている部材が滑車を支える力の大きさを求め，2つの物体の重力の和と比べよ．

**［図：同じ高さに吊るした2つの物体］**
天井から軽い棒で吊るされた滑らかな滑車に軽い糸がかかり，左に質量 0.30 kg の物体，右に質量 0.20 kg の物体が，同じ高さに吊るされている．

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考え方 糸は軽く，滑車は滑らかなので，張力は糸のどこでも同じである．糸の長さが一定なので，2つの物体の加速度の大きさは等しい．各物体の運動方程式を立て，連立させる．

$M = 0.30 kg$ ， $m = 0.20 kg$ として，例題 2 の結果を使う．

a = \frac{M - m}{M + m} g = \frac{0.10}{0.50} \times 9.8 \approx 2.0 m s^{- 2}, T = \frac{2 M m}{M + m} g = \frac{2 \times 0.30 \times 0.20}{0.50} \times 9.8 \approx 2.4 N

初速度0の等加速度運動なので， $0.50 = \frac{1}{2} a t^{2}$ ，すなわち

t = \sqrt{\frac{2 \times 0.50}{1.96}} \approx 0.71 s

軽い滑車は，糸から下向きに $T$ ずつ，あわせて $2 T$ の力を受ける．力がつり合うので，部材が支える力は $2 T \approx 4.7 N$ である．重力の和は $(M + m) g \approx 4.9 N$ で，それより小さい．重い方が下向きに加速しているぶん，糸が支える力が減るからである．

例題 4

オリジナル ★★★☆☆

傾き $30^{\circ}$ の滑らかな固定斜面の上に，質量 $2.0 kg$ の物体Aが置かれている．Aは軽い糸で，斜面の上端にある滑らかな定滑車を通して，斜面の外に吊るされた質量 $3.0 kg$ の物体Bとつながっている．Aは斜面に沿って動き，糸は斜面と平行である．はじめ静止していたものを放した．

Aの加速度の大きさと，糸の張力を求めよ．
Aが斜面から受ける垂直抗力を求めよ．

**［図：斜面上の物体と吊るされた物体］**
傾き 30° の固定された斜面の上端に定滑車がある．斜面上の質量 2.0 kg の物体 A から出た糸が，斜面に平行に滑車まで伸び，滑車を越えて鉛直に下がって，質量 3.0 kg の物体 B につながる．

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考え方 Aが斜面を上がる向きとBが下がる向きは同時に起こり，糸の長さが一定なので，加速度の大きさは等しい．A，Bそれぞれの運動方程式を立てて連立させる．

加速度の大きさを $a$ ，張力を $T$ ，Aの質量を $m = 2.0 kg$ ，Bの質量を $M = 3.0 kg$ とし，Aが斜面を上る向きと，Bが下がる向きを正とする．

Aについて，斜面に沿って上向きの力は $T$ ，下向きの力は $m g \sin 30^{\circ}$ だから

m a = T - m g \sin 30^{\circ}

Bについて

M a = M g - T

2式を足して $T$ を消すと $(m + M) a = M g - m g \sin 30^{\circ}$ となり

a = \frac{M - m \sin 30^{\circ}}{M + m} g = \frac{3.0 - 1.0}{5.0} \times 9.8 \approx 3.9 m s^{- 2}

$T = M (g - a)$ から

T = 3.0 \times (9.8 - 3.92) \approx 18 N

Aの斜面に垂直な向きには加速度がないので， $N = m g \cos 30^{\circ} = 2.0 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17 N$ である．

ポイントここまでのまとめ

アトウッドの機械では $a = \frac{M - m}{M + m} g$ ， $T = \frac{2 M m}{M + m} g$ ．極端な場合（ $M = m$ ， $M ≫ m$ ）で検算する．
糸の長さが一定という条件を2回微分すると加速度の関係が得られる．動滑車がある場合は $2 a_{1} + a_{2} = 0$ のように係数がつき，吊るされた物体を引く力は $2 T$ である．
未知数の数と式の数を数えてから連立させる．
軽いロープでつながった2物体では，ロープが両端で同じ大きさの力を伝える．それは第3法則ではなく，ロープの運動方程式による．作用反作用の対は「荷車とロープ」「ロープと馬」の2組である．