外部運動と内部運動

動く点のまわりの計算と例題

著者：柚木芹香

前の節の式を導き，3つの例で確かめます．重心の位置は前の節と同じく $r_{G}$ と書きます．

定理数学の道具：動く点のまわりで微分する

変化率の式． $\frac{d}{d t} (r_{i} - r_{A}) = v_{i} - v_{A}$ だから，外積の積の微分で

\frac{d L_{A}^{*}}{d t} = \sum (v_{i} - v_{A}) \times m_{i} (v_{i} - v_{A}) + \sum (r_{i} - r_{A}) \times m_{i} (a_{i} - a_{A})

である．第1項は同じベクトルどうしの外積で0．第2項の $a_{i}$ の分は，内力のトルクが打ち消し合って $τ_{A}$ ． $a_{A}$ の分は $- (\sum m_{i} (r_{i} - r_{A})) \times a_{A} = - M (r_{G} - r_{A}) \times a_{A}$ である．

接点の点の加速度． 半径 $R$ の縁が水平な床を滑らずに転がるとき，接点 P にある点の加速度を，縁の中心 O を基準にして第8章の式（接線の項と向心の項）で求める．進む向きを正とすると，O の加速度は $R α$ ．P は O の真下 $R$ にあるので，O に対する接線の項は後ろ向きに $R α$ ，向心の項は O へ向かって $R ω^{2}$ である．前後の成分は打ち消し合い， $a_{P}$ は O へ向かう大きさ $R ω^{2}$ の加速度になる．質量の分布は入らない．

エネルギーの式． 瞬間回転中心 Q から G までの距離を $d$ とすると，運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} I_{Q} ω^{2}$ ， $I_{Q} = I_{G} + M d^{2}$ ．Q から見た位置を $(x_{i}, y_{i})$ とすると $v_{i} = ω (- y_{i}, x_{i})$ なので，外力の仕事率は $\sum F_{i} \cdot v_{i} = ω \sum (x_{i} F_{i y} - y_{i} F_{i x}) = ω τ_{Q}$ ．剛体では内力の仕事の和は0だから $\frac{d K}{d t} = I_{Q} ω α + M d \dot{d} ω^{2} = ω τ_{Q}$ （ $\dot{d} = \frac{d d}{d t}$ ）． $ω \neq 0$ で割ると

I_{Q} α = τ_{Q} - M d \dot{d} ω

練習 1． 半径 $0.30 m$ の円板が，水平な床の上を，中心の速さ $1.5 m s^{- 1}$ ，中心の加速度 $0.60 m s^{- 2}$ で滑らずに転がっている．接点にある円板の点の速度と加速度を求めよ．

答え：速度は0．加速度は鉛直上向き（中心向き）に $\frac{v^{2}}{R} = \frac{{1.5}^{2}}{0.30} = 7.5 m s^{- 2}$ ．中心の加速度は答えに入らない．

練習 2． 同じ円板の最上点の速度と加速度を求めよ（進む向きを $x$ ，鉛直上向きを $y$ とする）．

答え：速度は $2 \times 1.5 = 3.0 m s^{- 1}$ （進む向き）．角加速度は $0.60 / 0.30 = 2.0 rad s^{- 2}$ で，最上点の接線加速度は進む向きに $2.0 \times 0.30 = 0.60 m s^{- 2}$ ，中心向きは下向きに $7.5 m s^{- 2}$ ．中心の加速度を足して $(0.60 + 0.60, - 7.5) = (1.2, - 7.5) m s^{- 2}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $3.0 kg$ ，半径 $0.10 m$ の一様な円柱が，傾き $30^{\circ}$ の斜面を滑らずに転がり降りる． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

中心の速さが $1.0 m s^{- 1}$ の瞬間に，接点にある円柱の点の加速度の大きさと向きを求めよ．また，接点のまわりで $I_{P} α = τ_{P}$ を使ってよい理由を述べよ．
接点のまわりの式から，重心の加速度の大きさを求めよ．

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考え方 接点の点の加速度が P から G へ向かう直線に沿えば，余分な項は0になる．

$ω = \frac{v}{R} = 10 rad s^{- 1}$ で，加速度は斜面に垂直に G へ向かう向きに $R ω^{2} = 10 m s^{- 2}$ ． $r_{G} - r_{P}$ も同じ向きなので外積は0である．
$I_{P} = \frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = 0.045 kg m^{2}$ ． $τ_{P} = M g R \sin 30^{\circ} = 1.47 N m$ ． $α \approx 32.7 rad s^{- 2}$ ， $a = R α \approx 3.3 m s^{- 2}$ で， $\frac{2}{3} g \sin 30^{\circ}$ と一致する．摩擦力を求めるには重心の運動方程式が要る．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

縁が半径 $R = 0.20 m$ の円で，重心 G が縁の中心 O から $b = 0.10 m$ ずれた偏心円板がある．質量は $M = 2.0 kg$ ，G のまわりの慣性モーメントは $I_{G} = 0.030 kg m^{2}$ である．この円板が水平な床の上を滑らずに転がり，G が O の真横（右）に来た瞬間に，角速度の大きさが $ω = 5.0 rad s^{- 1}$ であった． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

接点のまわりで $I_{P} α = τ_{P}$ とした場合の角加速度の大きさを求めよ．
重心の運動方程式と G のまわりの回転の運動方程式から，角加速度，摩擦力，垂直抗力を求めよ．
1. と (2) の差が，余分な項 $M [(r_{G} - r_{P}) \times a_{P}]_{z}$ で説明できることを確かめよ．

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考え方 (2) の連立が正しい答えである．接点の点の加速度は G を向かないので，余分な項が残る．

時計回りを正とする． $I_{P} = I_{G} + M (b^{2} + R^{2}) = 0.130 kg m^{2}$ ， $τ_{P} = M g b = 1.96 N m$ で， $α = \frac{1.96}{0.130} \approx 15.1 rad s^{- 2}$ ．
右と上を正，回転は時計回りを正とする．O の加速度は右へ $R α$ ．O の右 $b$ にある G は，O に対して下へ $α b$ ，左へ $ω^{2} b$ の加速度をもつ．P は G の左 $b$ ，下 $R$ にあるので

f = M (R α - ω^{2} b), N - M g = - M α b, I_{G} α = b N - R f

第1式と第2式を第3式に入れると $[I_{G} + M (b^{2} + R^{2})] α = M g b + M R b ω^{2}$ となり， $α = \frac{1.96 + 1.00}{0.130} \approx 22.8 rad s^{- 2}$ ．このとき $f \approx 4.1 N$ （右向き）， $N \approx 15 N$ ．

$r_{G} - r_{P} = (b, R)$ ， $a_{P} = (0, R ω^{2})$ の外積の $z$ 成分は $b R ω^{2}$ （反時計回り）なので，余分な項は時計回りに $M b R ω^{2} = 1.00 N m$ で， $I_{P} α = τ_{P} + M b R ω^{2}$ は (2) の式と同じである． $ω = 0$ の瞬間だけ (1) と (2) は一致する．エネルギーの式でも，OG が水平な位置から時計回りに角 $ψ$ だけ回ると $d^{2} = {PG}^{2} = R^{2} + b^{2} - 2 R b \sin ψ$ なので，この瞬間（ $ψ = 0$ ） $d \dot{d} = - R b ω$ となり， $- M d \dot{d} ω = M b R ω^{2}$ が同じ差を与える．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ ，長さ $l$ の一様なはしごを，なめらかな鉛直の壁となめらかな水平の床の間に，床と $60^{\circ}$ の角をなすように立てかけ，静かに放した．壁と床が交わる点を C，はしごが床となす角を $θ$ とし，はしごが壁から離れるまでを考える．

**［図：壁と床に接するはしごの基準点］**
壁と床に接するはしごの基準点を示す模式図．

瞬間回転中心 Q を求め，Q のまわりで $I_{Q} α = τ_{Q}$ を使ってよいことを示せ．
角加速度の大きさと，角速度の2乗を $θ$ で表せ．
壁がはしごを押す力を $θ$ で表し，はしごが壁から離れるときの $\sin θ$ を求めよ．

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考え方 上端の速度は鉛直，下端の速度は水平で，それぞれに垂直な直線の交点が Q である．

T を通る水平線と B を通る鉛直線の交点が Q で，C，B，Q，T は長方形をなす．G は対角線 BT の中点だから対角線 CQ の中点でもあり， $d = \frac{l}{2}$ は一定で $\dot{d} = 0$ ．壁と床の垂直抗力は Q を通り，トルクは重力の分だけになる．
$I_{Q} = \frac{M l^{2}}{12} + M {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{M l^{2}}{3}$ ， $τ_{Q} = M g \frac{l}{2} \cos θ$ ．倒れる向きの角速度を $ω = - \dot{θ}$ とすると $α = \frac{3 g}{2 l} \cos θ$ ．エネルギー保存 $\frac{1}{2} I_{Q} ω^{2} = M g \frac{l}{2} (\sin 60^{\circ} - \sin θ)$ から $ω^{2} = \frac{3 g}{l} (\sin 60^{\circ} - \sin θ)$ （時間で微分すると $α$ の式に戻る）．
水平に働く力は壁の力 $N_{2}$ だけである． $x_{G} = \frac{l}{2} \cos θ$ （C から）を2回微分して ${\ddot{x}}_{G} = \frac{l}{2} (α \sin θ - ω^{2} \cos θ)$ だから

N_{2} = M {\ddot{x}}_{G} = \frac{3 M g}{4} \cos θ (3 \sin θ - 2 \sin 60^{\circ})

放した直後は $N_{2} \approx 0.32 M g > 0$ で， $N_{2} = 0$ となる $\sin θ = \frac{2}{3} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ （ $θ \approx 35^{\circ}$ ）ではしごは壁から離れる．

ポイントここまでのまとめ

変化率の式は，外積の積の微分と $\sum m_{i} (r_{i} - r_{A}) = M (r_{G} - r_{A})$ から出る．
転がる縁の接点の点は，速度0で O へ向かう加速度 $R ω^{2}$ をもつ．
瞬間回転中心では $I_{Q} α = τ_{Q} - M d \dot{d} ω$ ．円柱（ $d = R$ ）とはしご（ $d = l / 2$ ）では余分な項が0，偏心円板では $M b R ω^{2}$ が残る．