角運動量を取る点の選び方

問い

傾き $\theta$ の斜面を，質量 $M$，半径 $R$ の一様な円柱が滑らずに転がり降ります．接点 P のまわりのトルクを考えると，摩擦力も垂直抗力も P を通るのでトルクが0になり，重力のトルク $MgR\sin \theta$ だけが残ります．P のまわりの慣性モーメント $I_{\mathrm{P}}={\displaystyle \frac{3}{2}}M{R}^2$ を使って $I_{\mathrm{P}}\alpha =MgR\sin \theta$ と書くと，第8章で重心の運動方程式と回転の運動方程式を連立して求めた $a=R\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}g\sin \theta$ が，1行で出てきます．

ところが，重心が中心からずれた円板（偏心円板）を水平な床の上で転がし，同じように接点のまわりで $I_{\mathrm{P}}\alpha ={\tau }_{\mathrm{P}}$ と書くと，正しい答えと合いません．「角運動量の変化＝トルク」は，どの点のまわりなら，そのまま使ってよいのでしょうか．

考えてみる

偏心円板の正しい答えは，第8章のとおり，重心の運動方程式と重心のまわりの回転の運動方程式を連立すれば出ます（次の節の例題で解きます）．縁の半径を $R$，G のまわりの慣性モーメントを $I_{\mathrm{G}}$ とします．G が O と同じ高さにあり（OG が水平で $\mathrm{OG}=b$），円板が角速度 $\omega$ で転がっている瞬間には，角加速度の大きさは

になります．接点のまわりの式 $I_{\mathrm{P}}\alpha ={\tau }_{\mathrm{P}}$ では，重力のトルクの大きさ $Mgb$ から $Mgb/I_{\mathrm{P}}$ が出て，$R{\omega }^2$ の分だけ足りません．$\omega =0$ の瞬間だけは合います．

第8章で $\frac{\mathrm{d}\mathit{L}}{\mathrm{d}t}=\mathit{\tau }$ を導いたときは，角運動量を空間に固定した点 O のまわりで測りました．固定していることを使ったのは，${\mathit{r}}_i\times m_i{\mathit{v}}_i$ を微分して出る $\frac{\mathrm{d}{\mathit{r}}_i}{\mathrm{d}t}\times m_i{\mathit{v}}_i$ を ${\mathit{v}}_i\times m_i{\mathit{v}}_i=\mathit{0}$ とした所です．接点は物体とともに動いていく点で，その瞬間の速度は0でも，加速度は0ではありません．そこで，動く点のまわりでは何が付け加わるのかを，一般の点で調べます．

動く点のまわりの角運動量

この題材の中だけ，重心の位置を ${\mathit{r}}_{\mathrm{G}}$，速度を ${\mathit{v}}_{\mathrm{G}}$ と書きます（第9章のほかの節の $\mathit{R}$，$\mathit{V}$ と同じものです．縁の半径 $R$ と紛れないようにします）．質点系の各質点の位置を ${\mathit{r}}_i$，速度を ${\mathit{v}}_i$，全質量を $M$ とし，角運動量を取る点 A の位置・速度・加速度を ${\mathit{r}}_{\mathrm{A}}$，${\mathit{v}}_{\mathrm{A}}$，${\mathit{a}}_{\mathrm{A}}$ とします．剛体の回転を A から見て扱いたいので，各質点の速度も A から見た相対速度で測ります．

A のまわりの外力のトルクを ${\mathit{\tau }}_{\mathrm{A}}=\sum ({\mathit{r}}_i-{\mathit{r}}_{\mathrm{A}})\times {\mathit{F}}_i$ とします．内力は前の題材と同じく質点を結ぶ直線の向きとし，そのトルクは打ち消し合います．時間で微分すると，次の結果が得られます（導出は次の節）．

余分な項は A の加速度で決まります．${\mathit{a}}_{\mathrm{A}}=\mathit{0}$ のとき，A が G のとき，${\mathit{a}}_{\mathrm{A}}$ が A から G へ向かう直線と平行なときに消えます．A を G にとると前の題材の $\frac{\mathrm{d}{\mathit{L}}^{\prime }}{\mathrm{d}t}={\mathit{\tau }}_{\mathrm{G}}$ に戻ります．A の速度が0でも，加速度が0でなければ余分な項は残りえます．余分な項は，第11章で別の見方をします．

剛体で使うとき

平面運動をする剛体に固定した点 A を取ります（剛体の外にあっても，剛体と一緒に動く点なら同じです）．第8章の剛体の平面運動で見たように ${\mathit{v}}_i-{\mathit{v}}_{\mathrm{A}}=\omega {\mathit{e}}_z\times ({\mathit{r}}_i-{\mathit{r}}_{\mathrm{A}})$ なので，${\mathit{L}}_{\mathrm{A}}^{\ast }$ の $z$ 成分は $\sum m_i{|{\mathit{r}}_i-{\mathit{r}}_{\mathrm{A}}|}^2\omega =I_{\mathrm{A}}\omega$ で，$I_{\mathrm{A}}$ は時間によらず一定です．したがって

です．$I_{\mathrm{A}}\alpha ={\tau }_{\mathrm{A}}$ と書いてよいのは，右辺の第2項が0のときだけです．

滑らずに転がる物体の接点にある点は，速度は0ですが，縁の円の中心 O に向かって大きさ $R{\omega }^2$ の加速度をもちます．これは O の加速度にも，質量の分布にもよりません（次の節で確かめます）．一様な円柱では O が G なので，${\mathit{a}}_{\mathrm{P}}$ は P から G へ向かう直線に沿い，余分な項は0です．問いの円柱で接点のまわりの式が正しかったのはこのためです．偏心円板では ${\mathit{a}}_{\mathrm{P}}$ は O を向き，G を向きません．OG が水平なら $({\mathit{r}}_{\mathrm{G}}-{\mathit{r}}_{\mathrm{P}})\times {\mathit{a}}_{\mathrm{P}}$ の大きさは $bR{\omega }^2$ で，余分な項 $MbR{\omega }^2$ が，考えてみるで見たずれと一致します．

瞬間回転中心で考えると，判断がもっと簡単になります（第8章では I と書きましたが，ここでは慣性モーメントと区別して Q と書きます）．Q から G までの距離を $d$ とすると，次の節でエネルギーから示すように

です（$\dot{d}=\frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}t}$）．$d$ がその瞬間に変わらなければ，Q のまわりで $I_{\mathrm{Q}}\alpha ={\tau }_{\mathrm{Q}}$ が使えます．重心が中心にある丸い物体の転がり（$d=R$）や，壁と床を滑り落ちるはしご（$d$ ははしごの長さの半分．次の節）では使えます．偏心円板では $d$ が刻々と変わるので使えません．

撃力の間

撃力が働く短い間は，空間に固定した点か G のまわりなら $\mathrm{\Delta }\mathit{L}=\sum \mathit{r}\times \mathit{J}$ がそのまま使えます．物体はほとんど動かないので，固定点はその瞬間に物体のどの点と重なっていてもかまいません．次の題材「剛体の衝突」ではこれを使います．