外部運動と内部運動

角運動量の分解の演習

著者：柚木芹香

角運動量には，どの点のまわりかを必ず添えてください．重心の運動と重心まわりの運動を分けてから，保存する量を判断しましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

ある平面運動をする剛体の質量は $2.0 kg$ ，重心位置は $R = (1.0, 2.0) m$ ，重心速度は $V = (3.0, 0) m s^{- 1}$ である．重心まわりの慣性モーメントは $0.50 kg m^{2}$ ，反時計回りの角速度は $4.0 rad s^{- 1}$ である．

原点Oのまわりの角運動量の $z$ 成分を，外部と内部に分けて求めよ．
自転は反時計回りなのに，全角運動量が反対符号になってもよいのでしょうか．

**［図：並進と自転を持つ剛体］**
xy座標上のG(1.0,2.0)，右向きのV，反時計回りの自転を描き，OからGへの位置を示す．

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考え方 $L_{z} = R_{x} P_{y} - R_{y} P_{x} + L_{z}^{'}$ を使う．角運動量の符号は，物体の自転の向きだけでは決まらない．

$P = (6.0, 0) kg m s^{- 1}$ ．外部の分は $1.0 \times 0 - 2.0 \times 6.0 = - 12 kg m^{2} s^{- 1}$ ，内部の分は $L_{z}^{'} = 0.50 \times 4.0 = 2.0 kg m^{2} s^{- 1}$ ．全体では $L_{z} = - 10 kg m^{2} s^{- 1}$ である．
Oから見た重心は，この瞬間，時計回りに向きを変える運動をしている．その寄与が自転の寄与より大きいので，負でよい．重心を通る点から測れば外部の寄与は消え，自転の正の角運動量だけになる．外部と内部は同じ単位を持つので足せるが，互いに打ち消す場合もある．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

氷上を動く物体群の全運動量は $P = (p, 0, 0) (p > 0)$ ，固定点Oのまわりの全角運動量は $L_{O} = (0, 0, - p a)$ である．別の固定点QはOから見て $(b, c, 0)$ にある．

Qのまわりの角運動量を求め，それが0になるQの集合を描け．
全運動量が0で，重心まわりに回転している系では，基準点を選んで全角運動量を0にできるか．

**［図：角運動量を測る2つの固定点］**
O，Q(b,c)，水平方向の全運動量pを座標図に示す．角運動量が0となる直線は描かない．

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考え方 基準点を変えると，各位置ベクトルから同じ $a = \vec{OQ}$ を引く．速度は同じ実験室系で測り続ける．

定義から

L_{Q} = \sum (r_{i} - a) \times m_{i} v_{i} = L_{O} - a \times P

である． $a \times P = (0, 0, - c p)$ だから $L_{Q z} = p (c - a)$ ．0になるのは $c = a$ の直線全体であり， $b$ は任意．全運動量と平行に基準点を動かしても角運動量は変わらない． $c = 0$ とすればOと同じ値になることも確かめられる．

$P = 0$ なら上式の差は常に0で，全角運動量は基準点によらない．したがって $L^{'} \neq 0$ の回転を基準点の選択で消すことはできない．運動量が0であることと，角運動量が0であることは別の条件である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

軽い剛体の枠に3個の等しい質点 $m$ を固定した．重心Gからの位置は，ある瞬間 $(a, 0), (- a / 2, \sqrt{3} a / 2), (- a / 2, - \sqrt{3} a / 2)$ である．水平面内を，Gが右へ速さ $V$ ，枠が反時計回りの角速度 $ω$ で動いている．

$L^{'}$ と $K$ を求めよ．
3質点それぞれに，同じ右向きの力積 $j$ を同時に加えた．直後の重心速度，自転角速度，運動エネルギーの増加を求めよ．

**［図：三角形の枠への等しい力積］**
正三角形の頂点に3質点mを置き，Gからの距離a，V，ωと，各頂点への同じ力積jを示す．

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考え方 3質点の位置の和が0なので，等しい力積の重心まわりのモーメントは相殺する．全力積は相殺しない．

$I_{G} = 3 m a^{2}$ より $L^{'} = (0, 0, 3 m a^{2} ω)$ ， $K = 3 m V^{2} / 2 + 3 m a^{2} ω^{2} / 2$ ．内部速度は各位置を90度回して $ω$ 倍したもので，質量付きの和は0になる．
$3 m (V_{+} - V) = 3 j$ より $V_{+} = V + j / m$ ．角力積は $\sum r_{i}^{'} \times (j, 0, 0) = 0$ なので $ω_{+} = ω$ ．したがって

Δ K = \frac{3 m}{2} [{(V + \frac{j}{m})}^{2} - V^{2}] = 3 V j + \frac{3 j^{2}}{2 m}

で，増加はすべて外部運動に入る．同じ力積を1点にまとめて加える場合は，その作用線がGを通るかを改めて調べる必要がある． $j \to 0$ で変化が0になること， $V = 0$ でも力積の2乗の分が残ることを確認できる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ ，長さ $l$ の一様な棒が，なめらかな水平面上の $x$ 軸に沿って静止している．重心は原点である．右端に $+ y$ 方向，左端に $- y$ 方向の等しい力積 $J$ を同時に加える． $I_{G} = M l^{2} / 12$ である．

直後の全運動量，重心まわりの角運動量，角速度，運動エネルギーを求めよ．
合力積が0なのに，内部運動が変わることを説明せよ．その後，外力なしに棒の内部ブレーキだけで全体を完全に静止させられるか．

**［図：棒の両端への偶力の力積］**
水平な棒の両端に逆向きの力積Jを描く．右端は上向き，左端は下向きで，中心Gを示す．

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考え方 逆向きの力積は運動量では相殺するが，角力積では同じ回転方向に加算される．

$P = 0$ ， $L_{z}^{'} = J (l / 2) + J (l / 2) = J l$ ．よって $ω = 12 J / (M l)$ ， $K = I_{G} ω^{2} / 2 = 6 J^{2} / M$ ．外部運動のエネルギーは0で，全量が内部運動である．角運動量の次元は力積×長さ，エネルギーの次元は力積の2乗÷質量となり整合する．
合外力積0はトルクの力積0を意味しない．この2つの外力積は偶力を作り， $L^{'}$ を変えた．以後の孤立した装置では，内部ブレーキが部品間で角運動量を移すことはできても，全体の $L^{'} = J l$ は消せない．有限の広がりを保った全物質が完全に静止すると $L^{'} = 0$ になるので不可能である．回転エネルギーを減らすには，角運動量を持つ別の部品の回転や形の変化まで数える必要がある．

ポイント教える人へ

外積の符号が苦手な読者には，最初に右手で向きを確かめ，次に成分計算をさせてください．
「重心のまわり」と「実験室に固定した点のまわり」のどちらを使ったかを，解答の式ごとに確認します．
演習3と4を比べ，同じ合力積でも作用点の配置で回転への効果が変わることを説明させます．外力がないこと，合外力が0であること，外力のトルクが0であることを混同していないかが理解の目安です．