外部運動と内部運動

剛体の衝突

著者：柚木芹香

問い

なめらかな氷の上に，細い棒が静止しています．その端に，棒と垂直な向きにパックが当たりました．棒は進みながら回り出します．このとき，棒の上には衝突の直後に一瞬だけ止まっている点があります．それは棒のどこでしょうか．

野球のバットでボールを打つと，当たる場所によって，手がしびれることもあれば，ほとんど何も感じないこともあります．手に衝撃が来ない「芯」とは，どんな点なのでしょうか．

［図：端を打った棒と瞬間回転中心］

左は衝突前，右の初期状態は衝突直後．再生すると重心は等速直進し棒は等速回転する．橙の物質点は後には動き出し，緑の瞬間回転中心は通常棒から外れる．

考えてみる

質点どうしの衝突は，第5章のとおり運動量保存則と反発係数で解けました．ところが棒が相手だと，棒の重心の速度 $V$ のほかに角速度 $ω$ も未知で，パックの衝突後の速度 $u$ と合わせて未知数は3つです．運動量保存則は1本しかありません．そのうえ，衝突の最中にパックが棒に及ぼす力は，時間とともに複雑に変わって分かりません．それでも3つの未知数を決められるのは，衝突がごく短い時間で終わることと，角運動量を測る点を選べることのおかげです．

撃力の近似

定義撃力

衝突のように，ごく短い時間 $Δ t$ のあいだに大きな力が働くとき，この力を撃力という．撃力の力積 $J = \int F d t$ は有限の値をもつ．

撃力が働く間にも重力やばねの力などは働きますが，大きさが有限の力の力積は $Δ t \to 0$ で無視できます．ただし床の垂直抗力や摩擦力も，床への衝突などでは撃力になりえます．物体もこの間にほとんど動かないので，トルクの腕も変わりません．衝突の直前と直後だけを比べるなら，系の外から受ける撃力の力積を $J_{外}$ として

Δ P = \sum J_{外}, Δ L = \sum r \times J_{外}

です（ $L$ は空間に固定した点のまわり）．動く点のまわりでは余分な項が付くことを前の題材「角運動量を取る点の選び方」で見ましたが，固定点ならその心配はなく，その瞬間に物体のどの点と重なる点を選んでもかまいません．パックと棒を1つの系に入れれば，両者の接触力は内力になります．作用反作用で同じ作用線上を逆向きに働くので， $P$ も，どの点のまわりの $L$ も変えません．

氷の上の棒

棒（質量 $M$ ，重心 G のまわりの慣性モーメント $I_{G}$ ）の，G から垂直に距離 $d$ の点に，質量 $m$ ，速さ $v_{0}$ のパックが当たるとします．氷の上では撃力を受けないので，系の運動量と，衝突の瞬間に G があった点のまわりの角運動量が保存します．衝突後のパックの速度を $u$ として

m v_{0} = m u + M V, m v_{0} d = m u d + I_{G} ω

です．弾性衝突なら運動エネルギーも保存して，3本目の式

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m u^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}

が得られます．棒が受けた力積を $J$ とおくと， $V = \frac{J}{M}$ ， $ω = \frac{J d}{I_{G}}$ ， $u = v_{0} - \frac{J}{m}$ で，これをエネルギーの式に入れると， $J = 0$ （衝突前）以外の解として

J = \frac{2 v_{0}}{\frac{1}{m} + \frac{1}{M} + \frac{d^{2}}{I_{G}}}

が出ます．反発係数 $e$ の衝突なら，分子が $(1 + e) v_{0}$ になります．付着する衝突では $e = 0$ ですが， $e = 0$ だけではその後も付着し続けるとは限りません．

瞬間の回転中心

衝突の直後，棒の上で G から叩かれた側と反対側に $s$ の点の速度は $V - ω s$ です．これが0になる点が

s = \frac{V}{ω} = \frac{I_{G}}{M d}

で，一様な棒（長さ $l$ ）では $I_{G} = \frac{M l^{2}}{12}$ より $s = \frac{l^{2}}{12 d}$ です．直後の棒は，この点のまわりを回っているように見えるので，瞬間の回転中心といいます．

$V$ も $ω$ も $J$ に比例するので， $s$ に $J$ は入らず，パックの質量や速さ，弾性か合体かに関係なく，叩く位置 $d$ だけで決まります．端（ $d = \frac{l}{2}$ ）を叩けば $s = \frac{l}{6}$ ，G を叩けば $s \to \infty$ で，回らずに進みます．

［図：打点と速度分布の関係］

初期状態は端を打った棒の直後の速度分布．再生または打点スライダーで，打点を重心へ近づけると回転中心が遠ざかる様子を比較できる．

固定軸があるとき：打撃の中心

棒の一端 O を固定軸で支えて，G から $h$ の位置にあるとします．軸は撃力を及ぼしうる外力なので，運動量は保存しません．そのかわり，軸の力は O を通るので O のまわりのトルクが0になり，叩く物体も含めた系では O のまわりの角運動量が保存します．O から $q$ の点を垂直に叩く力積 $J$ と，軸が与える力積 $J_{O}$ について，O のまわりの慣性モーメントを $I_{O} = I_{G} + M h^{2}$ として

J q = I_{O} ω, M V_{G} = J + J_{O}, V_{G} = h ω

です．軸が棒へ与える力積は

J_{O} = J (\frac{M h q}{I_{O}} - 1)

です．ちょうど $J_{O} = 0$ ，つまり叩いても軸（手）に力積がかからない点が打撃の中心で，

q = \frac{I_{O}}{M h} = h + \frac{I_{G}}{M h}

です．一様な棒の端を支点にすると $q = \frac{2 l}{3}$ になります．これは第8章の実体振り子の周期 $2 π \sqrt{\frac{I_{O}}{M g h}}$ と同じ周期をもつ単振り子の長さでもあります．

打撃の中心は，前の節と結びついています．G から $d = q - h = \frac{I_{G}}{M h}$ の点を叩く自由な棒の回転中心は，ちょうど O にあたる $s = h$ です（ $s d = \frac{I_{G}}{M}$ ）．止まっている点に軸を置いても，その点は動かないので，軸は力積を受けないのです．

保存則の選び方

ポイント衝突でどの保存則を使うか

系を決め，衝突の直前と直後だけを比べる．互いに撃力を及ぼし合うもの（パックと棒など）を1つの系に入れると，その接触力は内力になる．
系の外から撃力を受けないか調べる．氷の上の棒では，重力・垂直抗力・摩擦は有限の力で，衝突中の力積は無視できる．固定軸・蝶番・壁から受ける力は撃力になりうる．撃力を受けない向きでは，運動量が保存する．
角運動量を測る点を，空間に固定した点から選ぶ．未知の撃力の作用線が通る点（固定軸，支点，接触点）を選ぶと，その力のトルクが0になり，未知数が式から消える．
弾性（ $e = 1$ ）なら運動エネルギーも保存する．非弾性や合体では保存しないので，反発係数の式や，接触点の速度が等しいという条件を使う．
未知数と式の数を数える．足りなければ，滑らない条件のような接触の条件を加える．
検算する．運動エネルギーが増えていないか，極端な場合で自然な答えかを見る．

衝突のあとは話が変わります．有限の力である摩擦は，時間をかけると効いてくるからです．ただし摩擦の作用線が基準点を通るなら，そのトルクは0で，角運動量は保存します（次の節の，滑りながら転がる球）．

ポイントここまでのまとめ

撃力は短時間に働く大きな力で，力積は有限である．有限な力の力積は無視でき，その間に物体は動かない．
接触力は内力で， $P$ と固定点のまわりの $L$ を変えない．外から撃力を受けなければ両方が保存し，弾性ならエネルギーも保存する．
自由な棒を G から $d$ の点で叩くと， $V = J / M$ ， $ω = J d / I_{G}$ ．直後に止まっている点は G の反対側で $s = \frac{I_{G}}{M d}$ ．これは叩く位置だけで決まる．
固定軸があると運動量は保存しないが，軸のまわりの角運動量は保存する．軸が力積を受けない点が打撃の中心で， $q = \frac{I_{O}}{M h}$ （一様な棒の端支持で $\frac{2 l}{3}$ ）である．
問いの答え：端を叩くと，止まっている点は G の反対側 $\frac{l}{6}$ （反対の端から $\frac{l}{3}$ ）の点である．バットの芯は，握りから $I_{O} / (M h)$ の点（打撃の中心）である．