外部運動と内部運動

剛体の衝突の例題

著者：柚木芹香

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面（氷の上）に，質量 $M = 0.80 kg$ ，長さ $l = 1.2 m$ の一様な細い棒が静止している．質量 $m = 0.20 kg$ のパックが速さ $v_{0} = 3.0 m s^{- 1}$ で，棒に垂直な向きに進み，棒の一端 A に当たった．

**［図：棒の端へ入射するパック］**
水平面上の棒とパックを真上から見た図．パックは棒に垂直に端 A へ進む．重心 G，G から A までの距離 $d=0.60\,\mathrm{m}$，パックの速度 $v_0$ を示す．

弾性衝突のとき，衝突直後のパックの速度 $u$ ，棒の重心の速さ $V$ ，角速度 $ω$ を求めよ．
1. で，衝突直後に棒の上で静止している点を，G からの距離で答えよ．
パックが A に付着して棒と一体になるとき，直後の角速度 $ω^{'}$ と，失われた運動エネルギーを求めよ．

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考え方 氷の上では撃力を受けないので，運動量が保存する．角運動量は衝突の瞬間に G があった点のまわりで考える．

$I_{G} = \frac{M l^{2}}{12} = 0.096 kg m^{2}$ ．棒が受けた力積を $J$ とすると $V = \frac{J}{M}$ ， $ω = \frac{J d}{I_{G}}$ ， $u = v_{0} - \frac{J}{m}$ ．エネルギー保存に入れて $J \neq 0$ の解を取ると

J = \frac{2 v_{0}}{\frac{1}{m} + \frac{1}{M} + \frac{d^{2}}{I_{G}}} = \frac{6.0}{5.0 + 1.25 + 3.75} = 0.60 kg m s^{- 1}

したがって $u = 3.0 - \frac{0.60}{0.20} = 0$ （パックは止まる）， $V = \frac{0.60}{0.80} = 0.75 m s^{- 1}$ ， $ω = \frac{0.60 \times 0.60}{0.096} = 3.75 rad s^{- 1}$ ．確かめると，運動エネルギーは前が $0.90 J$ ，後が $\frac{1}{2} \times 0.80 \times {0.75}^{2} + \frac{1}{2} \times 0.096 \times {3.75}^{2} = 0.225 + 0.675 = 0.90 J$ で合う．

G から A と反対側に $s = \frac{V}{ω} = \frac{0.75}{3.75} = 0.20 m$ の点である（ $s = \frac{l^{2}}{12 d}$ とも一致する）．反対の端 B から見ると $0.40 m$ の点で，B は後ろ向きに $0.75 - 3.75 \times 0.60 = - 1.5 m s^{- 1}$ で動く．
合体後の重心 C は，G から A の側へ $\frac{m d}{m + M} = 0.12 m$ の点で，C の速さは $\frac{m v_{0}}{m + M} = 0.60 m s^{- 1}$ ．衝突の瞬間に C があった点のまわりの角運動量は，パックが $0.60 - 0.12 = 0.48 m$ 離れた線上を進むので，前は $0.20 \times 3.0 \times 0.48 = 0.288 kg m^{2} s^{- 1}$ ．直後の慣性モーメントは $0.096 + 0.80 \times {0.12}^{2} + 0.20 \times {0.48}^{2} = 0.1536 kg m^{2}$ ．よって $ω^{'} = \frac{0.288}{0.1536} = 1.875 rad s^{- 1}$ ．直後の運動エネルギーは $\frac{1}{2} \times 1.0 \times {0.60}^{2} + \frac{1}{2} \times 0.1536 \times {1.875}^{2} = 0.18 + 0.27 = 0.45 J$ で，失われたのは $0.90 - 0.45 = 0.45 J$ （半分）である．回転中心は C から後ろへ $\frac{0.60}{1.875} = 0.32 m$ ，つまり G の反対側 $0.20 m$ で，(2) と同じ点である．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

長さ $l = 1.0 m$ ，質量 $M = 0.90 kg$ の一様な細い棒が，上端 O を通る水平な固定軸（なめらか）のまわりに，鉛直にぶら下がって静止している．質量 $m = 0.10 kg$ の粘土の玉が，速さ $v = 6.0 m s^{- 1}$ で水平に飛んできて，O から距離 $q$ の点に当たり，棒に付着した．

**［図：つり下げ棒への粘土の衝突］**
鉛直にぶら下がる棒を横から見た図．上端 O の固定軸，O から $q$ の点に水平に当たる粘土の玉，重心 G と O から G までの距離 $\dfrac l2$ を描く．

$q = 1.0 m$ （棒の下端）のとき，直後の角速度と，軸が受ける水平方向の力積を求めよ．
軸が水平方向の力積を受けないための $q$ と，そのときの角速度を求めよ．

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考え方 軸は撃力を受けうるので運動量は保存しないが，O のまわりの角運動量は保存する．重力の力積は無視する．この配置では衝突前後の鉛直運動量が0なので，軸の鉛直力積もこの近似で0となる．

$I_{O} = \frac{M l^{2}}{3} = 0.30 kg m^{2}$ ． $m v q = (I_{O} + m q^{2}) ω$ より $ω = \frac{0.10 \times 6.0 \times 1.0}{0.30 + 0.10} = 1.5 rad s^{- 1}$ ．直後の水平方向の運動量は $M \frac{l}{2} ω + m q ω = 0.675 + 0.15 = 0.825 kg m s^{- 1}$ ，前は $m v = 0.60 kg m s^{- 1}$ なので，軸が系へ与えた力積は玉の進む向きに $0.825 - 0.60 = 0.225 kg m s^{- 1}$ ．したがって軸が棒から受けた力積は，玉の進む向きと反対向きに $0.225 kg m s^{- 1}$ である．失われたエネルギーは $\frac{1}{2} \times 0.10 \times {6.0}^{2} - \frac{1}{2} \times 0.40 \times {1.5}^{2} = 1.8 - 0.45 = 1.35 J$ ．
運動量の式 $m v = (\frac{M l}{2} + m q) ω$ と角運動量の式 $m v q = (I_{O} + m q^{2}) ω$ から $ω$ を消すと， $\frac{M l q}{2} = I_{O}$ より

q = \frac{2 I_{O}}{M l} = \frac{2 l}{3} \approx 0.67 m

で，玉の質量 $m$ も速さ $v$ も入らない．これが打撃の中心である．そのとき $ω = \frac{0.10 \times 6.0 \times 0.667}{0.30 + 0.10 \times {0.667}^{2}} \approx 1.2 rad s^{- 1}$ ．確かめると，運動量は $(0.45 + 0.0667) \times 1.161 = 0.60 kg m s^{- 1}$ で前と等しい．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

水平な机の上に，質量 $m = 0.20 kg$ ，半径 $R = 0.030 m$ の一様な球が置いてある．中心の高さを水平に突き，回転させずに速さ $v_{0} = 2.0 m s^{- 1}$ で滑り出させた．球と机の動摩擦係数は $μ^{'} = 0.20$ ，重力加速度は $9.8 m s^{- 2}$ とし，転がり抵抗は無視する．

［図：滑り出した球の初期条件と運動］

初期状態は回転せず右へ滑る球と接点の摩擦・垂直抗力・重力．答えに関わる変化は「解答確認の動く図を開く」で表示し，再生・停止できる．

滑りが止まり，滑らずに転がり始めたときの速さを求めよ．
そこまでの時間と，摩擦で失われた運動エネルギーを求めよ．

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考え方 第8章「転がりの束縛条件と例題」の例題3では並進と回転の運動方程式を時間で解いた．ここでは別の方法として，トルクが0になる基準点のまわりの角運動量保存を使う．動摩擦力は，運動量も運動エネルギーも変える．しかし，机の面上で進行方向の直線上にある点 P を基準にすると，摩擦力は P と接点を結ぶ向きに働くのでトルクが0である．重力と垂直抗力は同じ鉛直線上にあって，トルクは打ち消し合う．したがって P のまわりの角運動量が保存する．

球が机の面から高さ $R$ の位置を速さ $v$ で進み，角速度 $ω$ （進む向きに転がる向きを正）で回るとき，P のまわりの角運動量の大きさは $m R v + I ω$ （ $I = \frac{2}{5} m R^{2}$ ）．はじめは $m R v_{0}$ ，滑りが止まったとき $ω = \frac{v}{R}$ なので

m R v_{0} = (m R + \frac{2 m R}{5}) v より v = \frac{5}{7} v_{0} \approx 1.4 m s^{- 1}

である．

中心の加速度は $- μ^{'} g = - 1.96 m s^{- 2}$ なので， $t = \frac{2.0 - 1.43}{1.96} \approx 0.29 s$ ．運動エネルギーは前が $\frac{1}{2} \times 0.20 \times {2.0}^{2} = 0.40 J$ ，後が $\frac{1}{2} \times 0.20 \times {1.43}^{2} \times \frac{7}{5} \approx 0.29 J$ で，失われたのは約 $0.11 J$ （もとの $\frac{2}{7}$ ）である．回転の運動方程式 $I α = μ^{'} m g R$ から出る角加速度 $163 rad s^{- 2}$ を使っても， $ω = \frac{1.43}{0.030} = 47.6 rad s^{- 1}$ に達する時間は $0.29 s$ で一致する．

例題 4

オリジナル ★★★★☆

例題 3 と同じ球（ $m = 0.20 kg$ ， $R = 0.030 m$ ）が机の上に静止している．中心から高さ $h$ の点を，水平なキューで力積 $J = 0.40 kg m s^{- 1}$ だけ突く．押し球は中心より $0.015 m$ 上（ $h = + 0.015 m$ ），引き球は $0.015 m$ 下（ $h = - 0.015 m$ ）を突く．突いた直後，机との摩擦が効く前に，球は静止している同じ球に正面から弾性衝突した．球どうしの接触は滑らかで，接線方向の力積は無視する．その後，摩擦で転がり始めるまでを考える．動摩擦係数は $0.20$ ．

［図：押し球と引き球の打点］

初期状態は中心より上と下を突く2つの設定．「解答確認の動く図を開く」後の再生は，球同士の衝突直後から手球が転がり始めるまでを表す．

突いた直後の中心の速さ $v_{0}$ と角速度 $ω_{0}$ を，押し球と引き球のそれぞれについて求めよ．
衝突の直後の手球の速度と角速度を求めよ．
その後に手球が転がり始めたときの速度を求めよ．

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考え方 (1) 突く力積は水平で，中心のまわりのトルクは $J h$ ．(2) 球どうしの接触力は中心を通るので，手球の回転は変わらない．(3) 机の面上の点のまわりの角運動量が保存する（例題 3）．

$v_{0} = \frac{J}{m} = 2.0 m s^{- 1}$ ． $I = \frac{2}{5} m R^{2} = 7.2 \times 10^{- 5} kg m^{2}$ で $I ω_{0} = J h$ より $ω_{0} = \frac{0.40 \times (\pm 0.015)}{7.2 \times 10^{- 5}} = \pm 83 rad s^{- 1}$ ．押し球は前進の向きに転がる回転（正），引き球は逆向きの回転（負）である．
質量が等しい球の弾性正面衝突では速度が入れ替わるので，手球は止まり，的球が $2.0 m s^{- 1}$ で進む．接触力は手球の中心を通るのでトルクは0で，手球は $ω_{0}$ のまま回り続ける．
机の面上の点のまわりの角運動量は，衝突直後は $I ω_{0}$ ，転がり始めたとき $m R v + I \frac{v}{R}$ ．

v = \frac{I ω_{0}}{m R + I / R} = \frac{2}{7} R ω_{0} = \pm 0.71 m s^{- 1}

押し球は前へ $0.71 m s^{- 1}$ 進み（的球について行く），引き球は後ろへ $0.71 m s^{- 1}$ 戻る．引き球では，接点が机に対して前へ動くので，摩擦力が後ろ向きに働くためである．かかる時間は $\frac{0.71}{0.20 \times 9.8} \approx 0.36 s$ ．運動エネルギーは $\frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = 0.25 J$ から $\frac{2}{7}$ の約 $0.071 J$ に減る．

ポイントここまでのまとめ

氷の上の棒への衝突は，運動量・固定点のまわりの角運動量・（弾性なら）エネルギーの3本で解ける．叩かれた棒の止まっている点は，叩く位置だけで決まる．
固定軸があるときは，軸のまわりの角運動量で $ω$ を決め，運動量の差から軸の力積を出す．軸の力積が0になる点が打撃の中心である．
外力の摩擦でも，作用線が基準点を通ればトルクは0である．机の面上の点のまわりでは，滑りながら転がる球の角運動量が保存し， $v = \frac{m v_{0} + I ω_{0} / R}{m + I / R^{2}}$ が出る．
押し球・引き球は，同じ式で $ω_{0}$ の符号が違うだけである．