外部運動と内部運動

剛体の衝突の演習

著者：柚木芹香

反発係数で比べるのは，重心どうしではなく接触した点どうしの速度です．衝突の間と，その後の運動を分けて考えてください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

長さ $l$ ，質量 $M$ の一様な棒が，なめらかな水平面上で静止している．重心Gから $d (0 < d \leq l / 2)$ の点へ，棒と垂直な水平力積 $J$ を加えた．

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考え方 $I_{G} = M l^{2} / 12$ ．重心の並進と回転による速度が打ち消す点を探す．

$V = J / M$ ， $ω = J d / I_{G}$ ．Gから打点と反対側へ $s$ 離れた点の速度は $V - ω s$ なので， $s = I_{G} / (M d) = l^{2} / (12 d)$ ．長さの次元を持ち，力積の大きさには依存しない．
棒上の点であるには $s \leq l / 2$ ，すなわち $l / 6 \leq d \leq l / 2$ ． $d = l / 4$ では反対側へ $s = l / 3$ であり，反対の端から $l / 6$ 内側にある． $0 < d < l / 6$ なら回転中心は棒の延長線上にあって，棒上で静止する点はない． $d \to 0$ では $ω \to 0$ となり純粋な並進へ移る．瞬間回転中心は固定支点ではなく，この時刻の速度分布を表す点である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面上で，質量 $M$ ，重心まわりの慣性モーメント $I$ の剛体が静止している．重心から距離 $d > 0$ の点を，その半径に垂直に質量 $m$ の小球が速さ $u$ で打つ．接触は滑らかで，力積は入射方向だけである．反発係数は $e$ である．

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考え方 衝突前後の速度を入射方向に符号付きで表す．剛体の接触点には並進速度だけでなく回転の速度もある．

小球は $u - J / m$ ，剛体の重心は $J / M$ ，角速度は打点が前へ動く向きを正として $J d / I$ ．したがって接触点速度は $J / M + J d^{2} / I$ で，反発条件は

(u - \frac{J}{m}) - (\frac{J}{M} + \frac{J d^{2}}{I}) = - e u

となる．よって $J = (1 + e) u / (1 / m + 1 / M + d^{2} / I)$ ．

分母は $4 / M$ で $J = 3 M u / 8$ ．小球は $u / 4$ ，重心は $3 u / 8$ ，角速度は $3 u / (8 d)$ となる．接触点は $3 u / 4$ なので，小球との差は $- u / 2$ で条件に合う．衝突後のエネルギーは $5 M u^{2} / 32$ ，前は $M u^{2} / 4$ であり，損失 $3 M u^{2} / 32$ は正である．重心速度だけを反発条件に入れると，この接触点の検算が合わなくなる．

演習 3

オリジナル ★★★☆☆

水平面上に，軽い棒で結んだ2つの質点が静止している．一端Aの質量は $m$ ，他端Bは $3 m$ ，距離は $l$ である．Aから距離 $q$ の点を通る鉛直軸で支える装置を考え， $0 \leq q < 3 l / 4$ とする．Bへ棒と垂直な力積 $J$ を加えた．

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考え方 装置の重心はAから $3 l / 4$ にある．軸のまわりの角力積と，全運動量の変化を別に計算する．

軸から重心まで $h = 3 l / 4 - q$ ， $I_{O} = m q^{2} + 3 m (l - q)^{2}$ である．角速度は $ω = J (l - q) / I_{O}$ ，重心速度は $h ω$ ．力積の方向を正として

J_{O} = 4 m h ω - J = J (\frac{4 m h (l - q)}{I_{O}} - 1)

となる．これは軸が装置へ与える力積であり，装置が軸へ与える力積は $- J_{O}$ である．

$4 m h (l - q) = I_{O}$ を整理すると $- m l q = 0$ ，したがって $q = 0$ ，すなわちAを支えればよい．自由な装置では $I_{G} = 3 m l^{2} / 4$ ，打点BはGから $d = l / 4$ にあるので，瞬間回転中心まで $s = I_{G} / (4 m d) = 3 l / 4$ ．これはAそのものである．Aが元から静止する速度分布なので，そこを固定しても追加の力積が要らない． $q = 0$ を(1)に戻すと $ω = J / (3 m l)$ ， $4 m h ω = J$ と検算できる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面上に静止している一様な薄い円板の質量は $M$ ，半径は $R$ である．質量 $m$ の小さな粘土が，円板の縁の点Aへ接線方向に速さ $u$ で飛来し，付着する．円板と粘土を合わせた系には水平外力積がない．

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考え方 合体後は重心が移る．元の円板の中心のまわりに，合体後の全エネルギーを単純に回転の形で書いてはいけない．

I_{C} = \frac{1}{2} M R^{2} + M {(\frac{m R}{M + m})}^{2} + m {(\frac{M R}{M + m})}^{2} = \frac{M R^{2} (M + 3 m)}{2 (M + m)}

である．

衝突時のCの位置を基準にすると，初めの角運動量は $m u M R / (M + m)$ ．よって $ω = 2 m u / [R (M + 3 m)]$ ．直後のエネルギーは $(M + m) V_{C}^{2} / 2 + I_{C} ω^{2} / 2 = 3 m^{2} u^{2} / [2 (M + 3 m)]$ ．損失は

Q = \frac{1}{2} m u^{2} - \frac{3 m^{2} u^{2}}{2 (M + 3 m)} = \frac{m M u^{2}}{2 (M + 3 m)}

となる． $Q > 0$ ， $m / M \to 0$ では粘土のエネルギーのほぼ全部が失われる．角速度の次元は速度÷長さであり，質量をすべて同じ倍率にしても変わらない．

ポイント教える人へ