第9章の章末問題 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面を速さ $V$ で直進する台に，同じ鉛直軸を持つ2つのローターを載せた．軸は台に固定され，外部へ鉛直軸まわりのトルクを伝えない．ローターの慣性モーメントは $I, 2 I$ ，初めの角速度は $3 ω_{0}, - ω_{0}$ である．装置全体の質量は $M$ ，重心は軸上にある．内部クラッチをつなぐと，最終的に両ローターが同じ角速度になる．

最終角速度と発熱量を求めよ．
重心の運動と外部の運動エネルギーは変わるか．発熱量を $V$ で変えられるかも説明せよ．

**［図：動く台の同軸ローター］**
台の上に同軸のローターIと2Iを上下に描き，初めの逆向き回転3ω₀と−ω₀，台のVを示す．

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考え方 クラッチの摩擦は内力である．角運動量は足し算で保存するが，回転エネルギーは一部が熱になる．鉛直運動はない．

$I (3 ω_{0}) + 2 I (- ω_{0}) = 3 I ω_{f}$ より $ω_{f} = ω_{0} / 3$ ．初めの回転エネルギーは $11 I ω_{0}^{2} / 2$ ，最後は $I ω_{0}^{2} / 6$ で，差の $Q = 16 I ω_{0}^{2} / 3$ が発熱になる．一般式 $Q = I_{1} I_{2} (ω_{1} - ω_{2})^{2} / [2 (I_{1} + I_{2})]$ に戻しても同じ結果を得る．
水平外力はなく $P = M V$ は一定なので， $M V^{2} / 2$ は変わらない．発熱は内部の相対的な回転が減った分であり， $V$ を変えても同じである．特に $V = 0$ でも発熱は生じる．「内部角運動量一定」は「内部運動エネルギー一定」を意味しない．

演習 2

オリジナル ★★★☆☆

水平な無端ベルトを2つの固定ローラーに掛ける．上側の直線部分で質量 $m$ の人が右へ走り出する．ベルトとローラーの運動エネルギーを，上側ベルトの右向き速度 $w$ を使って $A w^{2} / 2$ と表せるとする． $A > 0$ は装置の有効な慣性を表し，単位は質量である．初めはすべて静止し，人が上側ベルトから受ける右向き摩擦力は一定の $f$ である．接触は滑らず，軸摩擦はない．人の体内エネルギーの減少を考え，重心の上下動と四肢の運動エネルギーの変化は無視する．

時間 $t$ 後の人の速度と $w$ を求めよ．
人の重心とベルトの幾何学的な重心を合わせて，水平運動量保存を使えない理由を説明せよ．
人が消費した内部エネルギーを求めよ．

**［図：固定ローラーの上で走る人］**
固定軸を持つ2ローラーと無端ベルト，上側を走る人，右向きfを描く．上側ベルト速度wの正方向を示す．

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考え方 軸がなめらかでも，固定軸は装置へ外力を及ぼす．重心が静止するベルトでも，内部に運動エネルギーを蓄えられる．

人について $m \dot{v} = f$ より $v = f t / m$ ．ベルトの運動方向に沿う駆動力は $- f$ なので $A \dot{w} = - f$ ， $w = - f t / A$ ．この式は仕事率 $\frac{d (A w^{2} / 2)}{d t} = - f w$ とも一致する．
固定された支持台から水平反力を受けるため，人・ベルト・ローラーの系は孤立していない．一様な無端ベルトでは全体の重心は固定されていても，上側と下側は逆向きに運動している．人の運動量 $f t$ の増加は支持部からの外力積でまかなわれ，矛盾はない．支持台まで自由に動ける別の装置なら，その台の反動も含める必要がある．
固定軸は仕事をせず，接触の滑りによる発熱もないので，減った体内エネルギーは増えた全運動エネルギーに等しい．

Q = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} A w^{2} = \frac{f^{2} t^{2}}{2} (\frac{1}{m} + \frac{1}{A})

$A \to \infty$ ならベルトはほぼ静止し，普通の床を走る極限に近づく．有限の $A$ では人はベルトを逆向きに回すためのエネルギーも使う．

演習 3

オリジナル ★★★☆☆

幅 $a$ ，質量 $M$ の一様な薄い長方形板を，左の鉛直辺Oで摩擦なく支える．初め板は静止している．質量 $m = M / 3$ の小球が，板の幅の中央へ垂直に速さ $u$ で弾性衝突する．球と板の接触は滑らかである．

衝突直後の球の速度と板の角速度を求めよ．
軸が板へ与えた，入射方向の力積を求めよ．

**［図：固定された板の中央へ入射する球］**
鉛直辺Oを軸とする幅aの板を上から見て，Oからa/2の中央への入射球M/3とuを示す．

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考え方 固定軸の力積があるので並進運動量を保存してはいけない．軸まわりの慣性モーメントは $I_{O} = M a^{2} / 3$ ．

板への力積を $J$ とすれば $I_{O} ω = J a / 2$ ，球は $u - J / m$ ．弾性の反発条件は $u - J / m - (a / 2) ω = - u$ だから

J = \frac{2 u}{1 / m + (a / 2)^{2} / I_{O}} = \frac{8 M u}{15}

となる．球の速度は $- 3 u / 5$ ，板の角速度は $4 u / (5 a)$ ．板の重心速度は $2 u / 5$ である．

板だけの運動量変化は $2 M u / 5$ ．よって軸から板への力積は $J_{O} = 2 M u / 5 - 8 M u / 15 = - 2 M u / 15$ ，入射と反対向きである．板から軸へは逆向きとなる．エネルギーを検算すると，球は $3 M u^{2} / 50$ ，板は $8 M u^{2} / 75$ ，和は $M u^{2} / 6 = m u^{2} / 2$ で保存する．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

一様な棒の質量は $M$ ，長さは $l$ である．なめらかな水平面上で，ある瞬間に棒が $y$ 軸に沿い，重心は原点，重心速度は $+ x$ 方向に $V > 0$ ，自転は反時計回りに $ω > 0$ である．この瞬間，棒上の座標 $y = b$ の点へ $- x$ 方向の力積を1回だけ加える．

並進と回転を同時に止めるのに必要な力積の大きさと $b$ を求めよ．
そのような打点が棒上に存在する条件を求め，除かれるエネルギーを示せ．

**［図：動いている棒を1回の力積で止める］**
棒の重心速度Vと反時計回りの角速度ω，左向きの力積Jを示す．打点は概念的な位置で，bの符号は未定である．

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考え方 2つの運動を止めるには，運動量と内部角運動量を同時に0にする必要がある．力積の符号を外積で調べる．

力積の大きさを $J$ とすると $M V - J = 0$ ，よって $J = M V$ ． $(0, b, 0) \times (- J, 0, 0) = (0, 0, b J)$ なので $I_{G} ω + b J = 0$ ．したがって $b = - l^{2} ω / (12 V)$ ．Gより下側を打つ．上側へ左向きの力積を加えると，回転をむしろ強める．
$| b | \leq l / 2$ は $ω l \leq 6 V$ に等しい．この範囲では $Q = M V^{2} / 2 + M l^{2} ω^{2} / 24$ が除かれる．これは受動的な制動でも実現しうる．この打点の初速度は $v_{x} = V - ω b = V + I_{G} ω^{2} / (M V) > 0$ で，力積はその動きを妨げる向きだからである． $ω \to 0$ なら中心を打てばよい．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M = 2.0 kg$ の剛体に，重心から未知の距離 $d$ で垂直な力積 $J = 1.2 kg m s^{- 1}$ を加えた．初め静止し，なめらかな水平面内で動く．直後の角速度は $3.0 rad s^{- 1}$ ，全運動エネルギーは $0.90 J$ と測定された．

重心まわりの慣性モーメントと打点の距離を求めよ．
直後の瞬間回転中心までの距離と，回転に入ったエネルギーの割合を求めよ．

**［図：力積と測定値から剛体を調べる］**
形の詳細が未知の剛体にG，未知の距離d，力積Jを描く．角速度の測定とエネルギー測定を短く添える．

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考え方 全エネルギーから並進の分を引けば，形を知らなくても回転の慣性モーメントを逆算できる．

$V = J / M = 0.60 m s^{- 1}$ ． $K_{外} = 0.36 J$ より $K_{内} = 0.54 J$ ．したがって $I_{G} = 2 K_{内} / ω^{2} = 0.12 kg m^{2}$ ．角力積から $d = I_{G} ω / J = 0.30 m$ となる．
$s = V / ω = 0.20 m$ で，打点と反対側である．回転に入った割合は $0.54 / 0.90 = 0.60$ ，すなわち60 %． $d s = 0.060 m^{2} = I_{G} / M$ と検算できる．測定されたエネルギーが $J^{2} / (2 M)$ より小さかったなら，この静止からの平面運動という仮定とは両立しない．また形が不明なので，回転中心が物体の内部にあるかどうかはこのデータだけでは決まらない．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

平面上の3質点 $m, m, 2 m$ の重心に対する位置が，ある瞬間 $(a, 0), (- a, 0), (0, 0)$ である．重心速度は $V$ ，重心まわりの角運動量の $z$ 成分は $L > 0$ とする．

各内部速度を $v_{i}^{'} = ω e_{z} \times r_{i}^{'} + w_{i}$ と書き， $ω = L / (2 m a^{2})$ と選ぶと，エネルギーの交差項が消えることを示せ．
この位置配置と $V, L$ を持つ運動の，最小の運動エネルギーと各速度を求めよ． $e_{z}$ は紙面に垂直な単位ベクトルである．

**［図：角運動量を固定した3質点の配置］**
Gの左右aにm，Gに2mの3質点を配置し，重心速度Vを描く．未知の内部速度は描かない．

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考え方 指定の角運動量を持つ剛体回転を先に取り出すと，残りは角運動量を持たない速度になる．

$I = \sum m_{i} {| r_{i}^{'} |}^{2} = 2 m a^{2}$ ．指定の回転の角運動量は $I ω = L$ なので， $\sum m_{i} (r_{i}^{'} \times w_{i})_{z} = 0$ ．したがって交差項 $ω \sum m_{i} (e_{z} \times r_{i}^{'}) \cdot w_{i}$ は0で，

K = \frac{1}{2} (4 m) V^{2} + \frac{L^{2}}{2 I} + \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} {| w_{i} |}^{2}

と書ける．

最後の和は非負で，すべての $w_{i} = 0$ のとき最小． $K_{min} = 2 m V^{2} + L^{2} / (4 m a^{2})$ ．速度は順に $V + (0, L / (2 m a))$ ， $V + (0, - L / (2 m a))$ ， $V$ である．これらは重心の条件も満たす．これはこの瞬間の下限であり，自由な3質点が以後もこの配置を保つという意味ではない． $L = 0$ では全員が重心と同じ速度を持つ状態が最小になり，第6章の結果につながる．

演習 7

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ ，長さ $l$ の一様棒の端Aを，上下に動く支持具へ摩擦のない軸で取り付ける．支持具の鉛直上向き加速度を $a$ とする．棒はAから斜め下へ延び，鉛直下向きから反時計回りに角 $θ (0 < θ < π / 2)$ をなす．棒には重力とAの支持力だけが働く．

相対速度で測るAまわりの式から，棒の角加速度 $α$ を求めよ．
支持具の加速度が一定で，棒を小さく振動させるときの周期を求めよ． $a = - g$ と $a < - g$ の場合も説明せよ．

**［図：鉛直に加速する支持点と棒］**
鉛直に加速する支持点と棒を示す模式図．

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考え方 Aを通る支持力を消すには，Aが動くための補正も入れる．そのあと角の小さい極限を調べる．

$r_{AG} = (l \sin θ / 2, - l \cos θ / 2)$ ．重力のトルクは $- M g l \sin θ / 2$ ，補正の外積は $M l a \sin θ / 2$ ． $I_{A} = M l^{2} / 3$ より $α = - 3 (g + a) \sin θ / (2 l)$ ．Aが空間に固定された場合の式へ，単に支持力を消しただけではこの $a$ の分を得られない．
小さな $θ$ では $\sin θ \approx θ$ だから， $g + a > 0$ なら $\ddot{θ} = - [3 (g + a) / (2 l)] θ$ ， $T = 2 π \sqrt{2 l / [3 (g + a)]}$ ． $a = 0$ で端を固定した棒の周期に戻る． $a = - g$ では角加速度が0で，初めの角速度を保ち，復元する振動はない． $a < - g$ では下向きの姿勢からのずれを増す角加速度となり，この姿勢は不安定である． $l / (g + a)$ は時間の2乗の次元をもつ．ここでは座標を動く系へ移さず，静止系で導いた補正の式だけを使った．