対称性から組み立てる力学（発展）

停留作用の原理

著者：柚木芹香

問い

鏡に光を当てると，入ってくる角と出ていく角が等しくなるように反射します．なぜ「等しい」のでしょうか．光は，鏡の上のどこで反射するかを，何によって選んでいるのでしょうか．そして，物体の運動も，同じような選び方で決まっていると考えることはできないでしょうか．

考えてみる

光源 A から出た光が，鏡で反射して目 B に届くとします．鏡を $y = 0$ の直線とし，A を $(0, a)$ ，B を $(d, b)$ に置きます．鏡の上の点 $P (x, 0)$ で反射するとすると，道のりは

ℓ (x) = \sqrt{x^{2} + a^{2}} + \sqrt{(d - x)^{2} + b^{2}}

です．光の速さは一定なので，かかる時間は $ℓ$ に比例します． $ℓ$ が最小になる $x$ を探すと，

\frac{d ℓ}{d x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} - \frac{d - x}{\sqrt{(d - x)^{2} + b^{2}}} = 0

です．第1項は入射角 $i$ （鏡に立てた垂線と入ってくる光のなす角）の $\sin i$ ，第2項は反射角 $r$ の $\sin r$ なので， $\sin i = \sin r$ ，つまり $i = r$ です．反射の法則は，「かかる時間が最も短い道を通る」という1つの規則から出てきました．これをフェルマーの原理といいます．

［図：反射点と光の道のり］

初期の反射点はx = 2．a = 2，b = 1，d = 4の配置で，鏡上の橙の点をドラッグするかスライダーを動かすと，候補の光路と道のりの点が変わる．最小の位置では垂線から測った入射角iと反射角rが等しくなる．自動アニメーションは行わない．

ここで2つの見方を比べてみます．反射の法則は，反射する点で何が起こるかを決める「その場の規則」です．フェルマーの原理は，A から B までの道すじ全体に1つの数（かかる時間）を割り当て，その数が特別な値になる道すじを選ぶ「全体の規則」です．同じことが2通りに言えるのです．

前の題材で，運動の法則は「状態から加速度を決める」その場の規則でした．これにも，経路全体に1つの数を割り当てる言い方があるのではないか．これがこの題材の出発点です．

経路と作用

系が時刻 $t_{1}$ に配置 $q^{(1)}$ ，時刻 $t_{2}$ に配置 $q^{(2)}$ にあるとします．その間の動き方 $q (t)$ として考えられるものを，すべて経路と呼びます．実際に起こるかどうかは問いません．問いの光で，A と B を結ぶ折れ線を何本も考えたのと同じです．

経路の1本1本に，1つの数を割り当てます．前の題材で，ある時刻の系について知るべきことは状態 $(q, \dot{q})$ だけでした．そこで，各時刻の状態と時刻から決まる関数 $L (q, \dot{q}, t)$ を考え，それを経路に沿って足し合わせます．

定義作用とラグランジアン

系の状態と時刻の関数 $L (q, \dot{q}, t)$ をラグランジアンという．経路 $q (t)$ に沿って

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q (t), \dot{q} (t), t) d t

を計算した値を，その経路の作用という．作用は，経路1本全体に1つの数を与える．

$L$ が $\ddot{q}$ を含まないのは，状態に加速度が入らないからです． $L$ の具体的な形は，まだ決めません．それを決めるのが次の題材です．

停留作用の原理

経路を少しだけ変えて $q (t) + δ q (t)$ とします．両端は固定するので， $δ q (t_{1}) = δ q (t_{2}) = 0$ です．このときの作用の変化のうち， $δ q$ について1次の部分を $δ S$ と書きます．

法則停留作用の原理

実際の運動の経路では，両端を固定したどんな小さな変化 $δ q$ に対しても $δ S = 0$ となる．このとき作用は停留するという．

この原理がなぜ成り立つのかは，この章の最後で，量子力学の見方から短く触れます．ここでは，これを出発点として認め，何が導けるかを見ていきます．

オイラー＝ラグランジュ方程式

まず自由度1の系で， $δ S = 0$ から $q (t)$ が満たす式を導きます． $L$ を $q$ と $\dot{q}$ の2変数の関数と見て，1次の近似を使うと

L (q + δ q, \dot{q} + δ \dot{q}, t) - L (q, \dot{q}, t) \approx \frac{\partial L}{\partial q} δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q}

です． $δ \dot{q} = \frac{d}{d t} δ q$ なので，第2項を部分積分すると

\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d}{d t} δ q d t = {[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q]}_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) δ q d t

となり，両端で $δ q = 0$ なので最初の項は消えます．したがって

δ S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) δ q d t

です．これがどんな $δ q$ についても0になるには，かっこの中が各時刻で0でなければなりません（数学の節で示します）．自由度 $s$ の系では， $q_{i}$ を1つずつ変えて同じ議論をします．

定理オイラー＝ラグランジュ方程式

停留作用の原理から，実際の運動は

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0 (i = 1, 2, \dots, s)

を満たす．

$\partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ は $q$ と $\dot{q}$ の関数なので，それを時間で微分すると $\ddot{q}$ が出てきます．つまりこの方程式は，ふつう $\ddot{q}$ について解けて，前の題材で求めた ${\ddot{q}}_{i} = f_{i} (q, \dot{q}, t)$ の形になります．経路全体の規則から出た式が，ちゃんとその場の規則になっているのです．

**［図：両端を固定した経路の変分］**
太い青線が実際の経路，細い緑線が少し変えた経路．下段は2本の差δq．両端でδqは0になっている．

ラグランジアンの選び方の自由

同じ運動を与えるラグランジアンは1つではありません．これは次の題材で決定的な役割をします．

1つ目は定数倍です． $L$ を $c L$ （ $c \neq 0$ は定数）に替えても， $δ S = 0$ の条件は変わりません．

2つ目は全微分です．配置と時刻の関数 $F (q, t)$ を使って

L^{'} = L + \frac{d}{d t} F (q, t)

とすると，

S^{'} = S + F (q^{(2)}, t_{2}) - F (q^{(1)}, t_{1})

です．足された部分は両端の値だけで決まり，両端は固定しているので，経路を変えても変わりません．したがって $δ S^{'} = δ S$ で， $L$ と $L^{'}$ は同じ運動を与えます．

ポイントラグランジアンの不定性

ラグランジアンに定数を掛けても，配置と時刻の関数の時間微分 $d F (q, t) / d t$ を足しても，運動は変わらない．

停留は最小とは限らない

この原理は「最小作用の原理」と呼ばれることも多いのですが，実際に求めているのは最小ではなく停留です．短い時間の経路では，実際の経路の作用は最小になります．しかし時間が長いと，経路の変え方によって作用が増えたり減ったりする，鞍点のような停留になることがあります（数学の節の例題で見ます）．光でも，曲がった鏡では，かかる時間が最大になる道を通ることがあります．大事なのは，まわりの経路と比べて1次では変わらないことです．

問いに戻る

光が反射の点を選ぶ規則は，「かかる時間が停留する道を通る」という，道すじ全体の規則でした．物体の運動についても，状態の関数 $L$ を経路に沿って積分した作用が停留する，という原理を置くと，そこからオイラー＝ラグランジュ方程式が出てきます．これは前の題材で求めた「2階の微分方程式」の形をしていて，その場の運動の法則になっています．残る問題は， $L$ の形です．

ポイントここまでのまとめ

フェルマーの原理：光は，かかる時間が停留する道を通る．反射の法則はそこから出る．
状態と時刻の関数 $L (q, \dot{q}, t)$ がラグランジアン，それを経路に沿って積分した $S$ が作用．
停留作用の原理（出発点として認める）：実際の経路では，両端を固定した小さな変化に対して $δ S = 0$ ．
そこからオイラー＝ラグランジュ方程式 $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$ が出る．これは2階の微分方程式である．
$L$ に定数を掛けても， $d F (q, t) / d t$ を足しても，運動は変わらない．
求めるのは最小ではなく停留．