対称性から組み立てる力学（発展）

状態と運動の法則の演習

著者：柚木芹香

与えられた法則から未来を求めましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

半径 $R$ の固定球面上の P を，鉛直上向きからの角 $θ$ と方位角 $φ$ で表します．両極を除き，方位角は連続に数えます．

自由度と状態の変数の数を答えてください．
角だけで状態が分かりますか．加速度も独立に指定しますか．

**［図：球面上の2つの角］**
固定球面の中心から点 P へ半径を引く．θは鉛直上向きからの角，φは水平面内の x 軸からの角である．

解答を見る

考え方 状態には座標と速度が要る．

自由度は2，状態は $(θ, φ, \dot{θ}, \dot{φ})$ の4つの数で決まる．
角だけでは足りず， $\dot{θ}, \dot{φ}$ も要る．加速度は，運動の法則に状態と時刻を代入して求まり，独立には指定しない．

確かめ：極では方位角で配置を区別できない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

直線上の運動の法則を $\ddot{x} = - λ \dot{x}$ （ $λ > 0$ ）とします．初期条件は $x (0) = x_{0}$ ， $\dot{x} (0) = v_{0}$ です．

位置と速度の時間変化を求めてください．
$λ = 2.0 s^{- 1}$ ， $x_{0} = 0.30 m$ ， $v_{0} = 0.80 m s^{- 1}$ のとき， $0.50 s$ 後の状態と，長時間後に近づく位置を求めてください．

**［図：直線上の初期状態］**
直線上の位置 x₀ に粒子を置き，右向きの初期速度 v₀ を示す．その後の位置は示さない．

解答を見る

考え方 まず速度を解き，位置を積分する．

$v = \dot{x}$ とおくと $\dot{v} = - λ v$ より $v = v_{0} e^{- λ t}$ ．積分して

x = x_{0} + \frac{v_{0}}{λ} (1 - e^{- λ t})

となる．

$e^{- 1} \approx 0.367879$ なので，位置は約 $0.55 m$ ，速度は約 $0.29 m s^{- 1}$ ．長時間後の位置は $x_{0} + v_{0} / λ = 0.70 m$ に近づく．

確かめ：速度を微分すると元の法則を満たす． $v_{0} = 0$ なら位置は変わらない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

$\ddot{x} = b t$ （ $b = 6.0 m s^{- 3}$ ）を， $x (0) = 0.10 m$ ， $\dot{x} (0) = 0.20 m s^{- 1}$ から，刻み $h = 0.10 s$ のオイラー法で3回進めます．

各段の位置と速度を表にしてください．どちらの更新にも更新前の値を使います．
正確な解と比べ，誤差の向きを説明してください．異なる時刻に同じ状態なら，加速度も同じですか．

**［図：時間刻みと状態の更新］**
時刻を h ずつ進め，各時刻の位置と速度から次の状態を求める．数値結果は入れない．

解答を見る

考え方 $x_{n + 1} = x_{n} + v_{n} h$ ， $v_{n + 1} = v_{n} + b t_{n} h$ を同時に使う．

更新式から次の表を得る．途中は丸めない．

時刻（s）	位置（m）	速度（m s⁻¹）
0	0.100	0.200
0.10	0.120	0.200
0.20	0.140	0.260
0.30	0.166	0.380

積分して $\dot{x} = 0.20 + b t^{2} / 2$ ， $x = 0.10 + 0.20 t + b t^{3} / 6$ ．正確な値は $0.187 m$ ， $0.470 m s^{- 1}$ で，近似値の誤差は $- 0.021 m$ ， $- 0.090 m s^{- 1}$ ．増加する加速度と速度を各段の初めの値で代用するため，両方とも小さく見積もる．加速度 $b t$ は，状態が同じでも時刻が異なれば異なる．

確かめ：初めの加速度は0でも，区間全体では0ではない．状態を比較するときは時刻もそろえる．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

平面内の法則を $\ddot{x} = Ω \dot{y}$ ， $\ddot{y} = - Ω \dot{x}$ （ $Ω > 0$ ）とします．初期状態は $x = y = 0$ ， $\dot{x} = u > 0$ ， $\dot{y} = 0$ です．

速度，位置，軌跡を求めてください．
初めて原点へ戻る時刻に，状態も戻りますか．別の初期速度で，位置が同じで状態が違う例を作ってください．

**［図：平面運動の初期状態］**
xy 平面の原点に粒子を置き，初期速度 u だけを右向きに描く．軌跡は描かない．

解答を見る

考え方 速度の方程式をもう1回微分する．

$v_{x} = \dot{x}$ ， $v_{y} = \dot{y}$ とすると ${\ddot{v}}_{x} = - Ω^{2} v_{x}$ ， $v_{x} (0) = u$ ， ${\dot{v}}_{x} (0) = 0$ ．よって $v_{x} = u \cos Ω t$ ， $v_{y} = - u \sin Ω t$ ．積分して

x = \frac{u}{Ω} \sin Ω t, y = \frac{u}{Ω} (\cos Ω t - 1)

を得る．時刻を消去すると，中心 $(0, - u / Ω)$ ，半径 $u / Ω$ の円で，時計回りに進む．

最初の復帰は $t = 2 π / Ω$ で，速度も $(u, 0)$ に戻る．初期速度を $(2 u, 0)$ に選べば，同じ時刻0に同じ原点にいるが状態は異なり，円の半径も2倍となる．

確かめ：速度の解を微分すると元の法則を満たす．同じ状態から同じ周回を繰り返すことは決定性と矛盾しない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

$x > 0$ で $\ddot{x} = 0$ という法則を考え，座標を $q = x^{2} / a$ （ $a > 0$ は長さ）に取り替えます．

$\ddot{q}$ を $q, \dot{q}$ で表してください． $\ddot{x} = 0$ でも $\ddot{q} \neq 0$ になりえますか．
$a = 1.0 m$ ， $q (0) = 0.16 m$ ， $\dot{q} (0) = 0.24 m s^{- 1}$ のとき， $1.0 s$ 後の状態を求めてください． $x > 0$ を外しても， $q$ は配置をただ1通りに指定しますか．

**［図：座標の目盛りの取り替え］**
x の等間隔の目盛りを，q=x²/a の目盛りへ対応させる．同じ配置でも座標の増え方は異なる．

解答を見る

考え方 座標を2回微分する．加速度が状態から決まるかを調べる．

$\dot{q} = 2 x \dot{x} / a$ ， $\ddot{q} = 2 {\dot{x}}^{2} / a$ ． $x^{2} = a q$ と $\dot{x} = a \dot{q} / (2 x)$ を代入して

\ddot{q} = \frac{{\dot{q}}^{2}}{2 q}

を得る． $\dot{q} \neq 0$ なら正となる．加速度の値は座標によるが，状態から決まることは変わらない．

$x (0) = \sqrt{a q (0)} = 0.40 m$ ， $\dot{x} (0) = a \dot{q} (0) / (2 x (0)) = 0.30 m s^{- 1}$ ． $x = 0.40 + 0.30 t$ から， $q (1.0) = 0.49 m$ ， $\dot{q} (1.0) = 0.42 m s^{- 1}$ ．正負両方の $x$ を許すと $x$ と $- x$ が同じ $q$ を与え，配置を区別できない．

確かめ：初めの $\ddot{q} = 0.18 m s^{- 2}$ は， $q = (0.40 + 0.30 t)^{2} / a$ の2回微分と一致する．

ポイント教える人へ

配置と状態の違い，更新前の値の使用を確認してください．決定性だけで法則の形は決まりません．最後は座標による加速度の違いと，配置を区別する必要性を確かめます．