対称性から組み立てる力学（発展）

微分方程式と初期条件

著者：柚木芹香

運動の法則が2階の微分方程式になることを，具体的な方程式で確かめます．初めの状態から少しずつ先へ進める計算は，コンピューターで運動を求めるときの基本でもあります．

定理数学の道具：2階の微分方程式と初期条件

未知の関数 $q (t)$ とその導関数の関係を表す式を微分方程式といい，含まれる最も高い導関数の階数をその方程式の階数という．2階の微分方程式 $\ddot{q} = f (q, \dot{q}, t)$ の解は，ある時刻 $t_{0}$ の $q (t_{0})$ と $\dot{q} (t_{0})$ （初期条件）を決めると，ただ1つに決まる．自由度 $s$ の系では $s$ 本の2階の方程式があり，解を決めるには $2 s$ 個の数が要る．

ここで「ただ1つに決まる」ことは， $f$ がなめらかな関数なら成り立つことが知られています．証明は大学の数学に任せ，ここでは例で確かめます．

いちばん簡単な例は $\ddot{x} = - g$ （ $g$ は定数）です．1回積分すると $\dot{x} = - g t + C_{1}$ ，もう1回積分すると $x = - \frac{1}{2} g t^{2} + C_{1} t + C_{2}$ です．積分定数が2つ出て， $t = 0$ の位置 $x_{0}$ と速度 $v_{0}$ を与えると $C_{2} = x_{0}$ ， $C_{1} = v_{0}$ と決まります．2階の方程式で，初期条件がちょうど2つ要るのは，積分を2回するからだと見ることもできます．

もう1つの例は $\ddot{x} = - ω^{2} x$ です．第7章で見たように，解は $x = A \cos ω t + B \sin ω t$ で，ここにも定数が2つあります． $x (0) = x_{0}$ ， $\dot{x} (0) = v_{0}$ とすると $A = x_{0}$ ， $B = v_{0} / ω$ です．

ポイント数学の道具：少しずつ進める（オイラー法）

$\ddot{q} = f (q, \dot{q}, t)$ の解を，時間の刻み $Δ t$ ごとに

q_{n + 1} = q_{n} + {\dot{q}}_{n} Δ t, {\dot{q}}_{n + 1} = {\dot{q}}_{n} + f (q_{n}, {\dot{q}}_{n}, t_{n}) Δ t

で求める方法をオイラー法という． $Δ t$ を小さくするほど，本当の解に近づく．

オイラー法は，状態から次の状態を作る手続きそのものです．使うのは各時刻の $q_{n}$ と ${\dot{q}}_{n}$ だけで，加速度は $f$ から計算されます．運動の法則が2階の方程式であることと，「状態から未来が決まる」ことが，ここで同じことになっています．

練習1　次の系の自由度を答えよ．(a) 平面の上を，向きを変えながら滑る細い棒．(b) 軽い棒の両端に小球をつけ，空間に投げたもの．(c) 空間を自由に動く剛体．

練習2　 $\ddot{x} = - ω^{2} x$ で， $x (0) = x_{0}$ ， $\dot{x} (0) = v_{0}$ ， $\ddot{x} (0) = a_{0}$ の3つを勝手に決めると，一般には解が無いことを示せ．

答え　練習1：(a) 棒の中点の位置 $(x, y)$ と向き $φ$ で3．(b) 2つの小球の位置で6個の数だが，棒の長さが一定という条件が1つあるので5（重心の位置3つと棒の向きの角2つ）．(c) 重心の位置3つと向き3つで6．練習2：方程式から $\ddot{x} (0) = - ω^{2} x (0)$ なので， $a_{0} = - ω^{2} x_{0}$ のときしか解が無い．加速度は初めに自由に選べない．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

次の系の自由度を答え，一般化座標を1組選べ．

鉛直な平面内で振れる，長さ $l_{1}$ と $l_{2}$ の軽い糸でつないだ2つのおもり（二重振り子）．
水平な床の上を滑らかに動ける斜面台と，その斜面の上を滑る小物体．ただし，どちらも紙面内だけで動くとする．

**［図：一般化座標の選び方］**
左は糸の角θ₁，θ₂と長さl₁，l₂で表す二重振り子．右は床に沿う台の位置Xと，斜面の上端から下向きに測る位置s．力は描いていない．

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考え方 平面内の小物体は2つの数で位置が決まり，長さが決まった糸や，面の上に乗っているという条件が1つあるごとに，必要な数が1つ減る．

おもりは2つで，平面内なので数は4つ．糸の長さが一定という条件が2つあるので，自由度は2．一般化座標には，2本の糸が鉛直となす角 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ を選べる．
台は床の上を水平に動くだけなので，位置 $X$ の1つで決まる．小物体は斜面の上にあるので，斜面に沿った位置 $s$ の1つで決まる．自由度は2で，一般化座標は $(X, s)$ ．

どちらも，一般化座標の選び方は1通りではない．(2) で小物体の水平位置を使ってもよい．ただし，条件を自動的に満たす座標を選ぶと，後の計算が楽になる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

$\ddot{x} = - ω^{2} x$ について答えよ．

$x (0) = x_{0}$ ， $\dot{x} (0) = v_{0}$ を満たす解を求めよ．
$x (0) = x_{0}$ だけを決めたとき，解はどれだけあるか． $ω = 2.0 s^{- 1}$ ， $x_{0} = 0.10 m$ として， $t = 0.50 s$ の $x$ がとりうる値の範囲を答えよ．

**［図：同じ位置と異なる初期速度］**
ω = 2.0 s⁻¹，x₀ = 0.10 mの例．初期速度だけを変えた5本の曲線は同じ点から出発する．点線はt = 0.50 sを示す．

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考え方 一般の解 $x = A \cos ω t + B \sin ω t$ の2つの定数を，条件で決める．条件が1つ足りなければ，定数が1つ自由に残る．

$x (0) = A = x_{0}$ ， $\dot{x} (0) = B ω = v_{0}$ なので

x = x_{0} \cos ω t + \frac{v_{0}}{ω} \sin ω t

$A = x_{0}$ だけが決まり， $B$ はどんな実数でもよい．解は無数にある． $t = 0.50 s$ では $ω t = 1.0 rad$ で， $\sin 1.0 \approx 0.84 \neq 0$ なので

x = 0.10 \cos 1.0 + B \sin 1.0 \approx 0.054 + 0.84 B [m]

は， $B$ を変えるとどんな値にもなる．範囲は「すべての実数」で，位置だけでは0.5秒後の位置について何も言えない．

確かめ： $\sin ω t = 0$ となる時刻（ $t = π / ω$ など）だけは， $B$ によらず $x = \pm x_{0}$ に決まる．振動の周期の半分ごとに，必ず同じ位置（または反対の位置）に戻るからである．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

$\ddot{x} = - g$ （ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）を， $x (0) = 0$ ， $\dot{x} (0) = 2.0 m s^{- 1}$ から，オイラー法で $Δ t = 0.10 s$ として3回進めよ．

$t = 0.30 s$ の $x$ と $\dot{x}$ を求め，本当の解と比べよ．
$n$ 回進めたときの $x_{n}$ を式で表し， $t = n Δ t$ を一定に保って $Δ t \to 0$ とすると本当の解に近づくことを示せ．

解答を見る

考え方 表に $x_{n}$ と ${\dot{x}}_{n}$ を並べ，「位置は今の速度で，速度は今の加速度で」進める．

$n$	$t [s]$	$x_{n} [m]$	${\dot{x}}_{n} [m s^{- 1}]$
0	0	0	2.00
1	0.10	0.200	1.02
2	0.20	0.302	0.04
3	0.30	0.306	$- 0.94$

本当の解は $x = 2.0 t - 4.9 t^{2}$ ， $\dot{x} = 2.0 - 9.8 t$ で， $t = 0.30 s$ では $x = 0.159 m$ ， $\dot{x} = - 0.94 m s^{- 1}$ ．速度は合うが，位置は $0.15 m$ ほど大きすぎる．各段で「段の初めの速度」で位置を進めるので，速度が減っていくこの運動では，位置を進めすぎるからである．

${\dot{x}}_{k} = v_{0} - g k Δ t$ なので

x_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} {\dot{x}}_{k} Δ t = v_{0} n Δ t - g Δ t^{2} \frac{n (n - 1)}{2} = v_{0} t - \frac{1}{2} g t (t - Δ t)

本当の解 $v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ との差は $\frac{1}{2} g t Δ t$ で， $Δ t \to 0$ で0になる．確かめ： $t = 0.30 s$ ， $Δ t = 0.10 s$ なら差は $0.147 m$ で，(1) の差と合う．

ポイントここまでのまとめ

2階の微分方程式の解は，初めの位置と速度（初期条件）でただ1つに決まる．自由度 $s$ なら $2 s$ 個の数が要る．
加速度は方程式から決まるので，初めに自由には選べない．
オイラー法は，状態から次の状態を作る手続きで，刻みを小さくするほど本当の解に近づく．
一般化座標は，系の条件を自動的に満たすように選ぶと後が楽になる．