対称性から組み立てる力学（発展）

停留作用の原理の演習

著者：柚木芹香

与えられた関数 $L$ から経路を選びます．両端の固定と，任意の変化に対する停留を確かめましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

$L = A e^{2 λ t} {\dot{q}}^{2} / 2$ とします． $q$ は長さ， $A > 0$ は質量， $λ > 0$ は時間の逆数の次元を持ちます．

オイラー＝ラグランジュ方程式を求めてください．
$\dot{q} > 0$ のとき $\ddot{q}$ の符号はどうなりますか． $L$ が $q$ を含まなければ，速度は一定と言えますか．

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考え方 時間微分では，時刻を含む係数も微分する．

$\partial L / \partial q = 0$ ， $\partial L / \partial \dot{q} = A e^{2 λ t} \dot{q}$ より

A e^{2 λ t} (\ddot{q} + 2 λ \dot{q}) = 0

なので， $\ddot{q} = - 2 λ \dot{q}$ ．

$\dot{q} > 0$ なら $\ddot{q} < 0$ ．一定なのは $A e^{2 λ t} \dot{q}$ で，速度そのものではない．

確かめ： $\dot{q} = C e^{- 2 λ t}$ （ $C$ は定数）は方程式を満たす．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

$L = A {\dot{q}}^{2} / 2 + C q$ とします． $q$ は長さ， $A > 0$ は質量， $C$ はエネルギーを長さで割った次元を持つ定数です． $q (0) = 0$ ， $q (T) = d$ （ $T > 0$ ）を固定し，

q_{ε} = \frac{d t}{T} + ε \frac{t}{T} (1 - \frac{t}{T})

を考えます． $ε$ は長さです．

$S (ε)$ と，停留する $ε$ を求めてください．
得た経路がオイラー＝ラグランジュ方程式を満たすかを確かめてください．

［図：両端を固定した候補の経路］

両端を固定した3本の候補を描く．初期状態では青い候補は中ほどが少し上へ膨らむ．スライダーは青い候補の膨らみだけを変え，停留経路や作用の値は表示しない．

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考え方 候補を作用に代入して積分し，停留値を微分で求める．

${\dot{q}}_{ε} = d / T + (ε / T) (1 - 2 t / T)$ ．交差項の積分は0で， $\int_{0}^{T} (1 - 2 t / T)^{2} d t = T / 3$ だから

S = \frac{A d^{2}}{2 T} + \frac{A ε^{2}}{6 T} + \frac{C d T}{2} + \frac{C ε T}{6}

となる． $d S / d ε = A ε / (3 T) + C T / 6 = 0$ より $ε_{*} = - C T^{2} / (2 A)$ ．

停留経路は $q_{*} = (d / T - C T / (2 A)) t + C t^{2} / (2 A)$ ．方程式は $A \ddot{q} - C = 0$ で，この経路は両端と方程式を満たす．

確かめ：2次の係数が正なので，この族では最小になる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

$L_{0} = A {\dot{q}}^{2} / 2$ に $F = B t q^{2}$ の全微分を足し， $L_{1} = L_{0} + d F / d t$ とします． $A > 0$ ， $B$ は定数で， $B q^{2}$ はエネルギーです．両端は $q (0) = a$ ， $q (T) = b$ と固定します．

$L_{1}$ の運動方程式を求めてください．
同じ経路での作用の差と，停留経路が変わらない理由を答えてください．

**［図：共通の両端を持つ経路］**
3本の候補の両端は (0，a)，(T，b) で共通である．どれを選ぶかの答えは示さない．

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考え方 全微分を積分すると境界項になる．

$L_{1} = A {\dot{q}}^{2} / 2 + B q^{2} + 2 B t q \dot{q}$ より，

\frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{q}} = A \dot{q} + 2 B t q, \frac{\partial L_{1}}{\partial q} = 2 B q + 2 B t \dot{q}

前者の時間微分から後者を引くと $A \ddot{q} = 0$ ． $L_{0}$ と同じ方程式になる．

$S_{1} - S_{0} = F (b, T) - F (a, 0) = B T b^{2}$ ．両端を固定した経路の変化によらないので $δ S_{1} = δ S_{0}$ ．

確かめ： $a$ が差に出ないのは $F (a, 0) = 0$ だからである．作用の数値が同じになるわけではない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

$L = A {\dot{q}}^{2} / 2$ （ $A > 0$ ）， $q (0) = q (T) = 0$ とし，候補 $q_{a} = a \sin (2 π t / T)$ （ $a \neq 0$ ）を考えます．

$δ q = ε \sin (π t / T)$ に変化を限って作用を計算すると， $ε$ の1次の項はありますか．
$δ q = ε \sin (2 π t / T)$ に替えて調べ， $q_{a}$ が停留作用の原理を満たすかを答えてください．

**［図：候補の経路と試す変化］**
左に正負の山を持つ候補 qₐ，右に最初に試す正の山の変化 δq を別々に示す．両方とも時刻0と T で0になる．

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考え方 すべての変化を検査する必要がある．

$\int_{0}^{T} \cos (2 π t / T) \cos (π t / T) d t = 0$ なので交差項が消える．各余弦の2乗の積分は $T / 2$ で，

S [q_{a} + δ q] = \frac{A π^{2} a^{2}}{T} + \frac{A π^{2} ε^{2}}{4 T}

となる．1次の項はなく，最小に見える．

経路の振幅が $a + ε$ になるので，作用は $A π^{2} (a + ε)^{2} / T$ ．1次の係数は $2 A π^{2} a / T \neq 0$ であり， $q_{a}$ は停留しない．

確かめ：方程式は $\ddot{q} = 0$ で，両端が0なら解は $q = 0$ だけ． $q_{a}$ は方程式も満たさない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

$x > 0$ に対して $L = A {\dot{x}}^{2} / 2$ （ $A > 0$ ）とします．長さ $a > 0$ を使い， $x = q^{3} / a^{2}$ ， $q > 0$ に座標を替えます．両端は $q (0) = a$ ， $q (T) = 2 a$ です．

$L$ を $q, \dot{q}$ で書き，運動方程式を求めてください．
両端を満たす停留経路を求めてください．
$x$ で書いた任意の変化 $δ x (0) = δ x (T) = 0$ を使い，作用が最小でもあることを示してください．

**［図：座標を替えた両端の対応］**
q=a と2a の端点を，x=q³/a² により x=a と8a の端点へ対応させる．途中の時間変化は示さない．

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考え方 座標変換を微分し，元の $L$ に代入する．

$\dot{x} = 3 q^{2} \dot{q} / a^{2}$ より $L = 9 A q^{4} {\dot{q}}^{2} / (2 a^{4})$ ． $\partial L / \partial \dot{q} = 9 A q^{4} \dot{q} / a^{4}$ ， $\partial L / \partial q = 18 A q^{3} {\dot{q}}^{2} / a^{4}$ なので，方程式は $q^{4} \ddot{q} + 2 q^{3} {\dot{q}}^{2} = 0$ ． $q > 0$ より $d (q^{2} \dot{q}) / d t = 0$ と書ける．
$q^{2} \dot{q}$ は一定で， $q^{3}$ は時刻の1次関数．両端から

q = a (1 + 7 t / T)^{1 / 3}, x_{*} = a + 7 a t / T

を得る．

$x = x_{*} + δ x$ を代入すると

S [x] - S [x_{*}] = \frac{7 A a}{T} \int_{0}^{T} δ \dot{x} d t + \frac{A}{2} \int_{0}^{T} (δ \dot{x})^{2} d t = \frac{A}{2} \int_{0}^{T} (δ \dot{x})^{2} d t \geq 0

である．境界項は0．最小で，等号は同じ経路に限る．

確かめ：得た $q$ を戻すと $\ddot{x} = 0$ ． $x$ では等速となる．

ポイント教える人へ

偏微分と時間微分を区別し，全微分を境界項と対応させます．演習4で「どんな変化でも」の役割を問い，候補内の停留だけで結論していないか確認してください．