運動量と質点系

2体問題の演習

著者：柚木芹香

重心の運動と相対運動を分けてから，個々の物体の運動へ戻しましょう．相対座標をどちらからどちらへ測るかを，最初に固定してください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $m_{1} = 2 m$ ， $m_{2} = 3 m$ の2質点が一直線上にある．重心位置は $x_{G} = 4 a$ ，相対座標は $x = x_{1} - x_{2} = - 5 a$ である．

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考え方 重心と差の定義を連立する．相対座標の負号は質点1が質点2の左にあることを表す．

$2 x_{1} + 3 x_{2} = 20 a$ ， $x_{1} - x_{2} = - 5 a$ から， $x_{2} = x_{1} + 5 a$ を代入して $5 x_{1} = 5 a$ ．したがって $x_{1} = a$ ， $x_{2} = 6 a$ である．逆変換 $x_{1} = x_{G} + 3 x / 5$ ， $x_{2} = x_{G} - 2 x / 5$ を使っても同じ結果になる．重心からの距離は $3 a, 2 a$ で質量の逆比である．
$μ = (2 m) (3 m) / (5 m) = 6 m / 5$ ．軽い方の $2 m$ より小さい．両物体が互いに動ける分だけ相対加速度が大きくなるため，相対運動に対応する質量は小さくなる．換算質量を2つの質量の和や単純平均で置き換えることはできない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

滑らかな水平面上で，左の質量 $m$ と右の質量 $2 m$ の物体を軽いばねでつなぐ．ばね定数は $k$ ，自然長は $l$ ．両物体を静止させ，ばねを $c (0 < c < l)$ だけ縮めた状態から同時に放す．

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考え方 縮んだばねは2物体を外へ押す．各加速度を求めてから差をとれば，相対座標の符号を確実に扱える．

右向きを正にすると $a_{1} = - k c / m$ ， $a_{2} = k c / (2 m)$ ．重心の加速度は $a_{G} = (m a_{1} + 2 m a_{2}) / (3 m) = 0$ ．両物体が加速していても重心は加速しない．初め静止なので重心位置も一定である．
$\ddot{s} = a_{2} - a_{1} = 3 k c / (2 m) > 0$ ．初めは $s = l - c$ だから距離は増え始める．換算質量は $μ = 2 m / 3$ であり， $μ \ddot{s} = - k (s - l) = k c$ と書いても同じ結果である．ここでは瞬間の加速度を求めており，その後も一定の加速度が続くとは仮定していない．伸び縮みとともにばねの力は変わる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

外力のない一直線上の2物体について，質量を $m_{1} = m$ ， $m_{2} = 3 m$ とする．ある瞬間の重心速度が $V = 2 v$ ，相対速度が $w = v_{1} - v_{2} = - 4 v$ である． $v > 0$ とする．

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考え方 外力が0なら重心速度は一定だが，相対速度は内力で変わる．速度の逆変換を使えば，両者を混同しない．

$v_{1} = V + 3 w / 4 = 2 v - 3 v = - v$ ， $v_{2} = V - w / 4 = 2 v + v = 3 v$ ．全運動量は $- m v + 9 m v = 8 m v = 4 m V$ である．重心は右へ動いているが，軽い物体は一時的に左へ動いている．
$w = 0$ なら両者とも $V = 2 v$ である．物体1への力積は $m {2 v - (- v)} = 3 m v$ ，物体2への力積は $3 m (2 v - 3 v) = - 3 m v$ ．合計は0である．相対速度0は，その瞬間に距離が変化しないという意味であり，内力も0になるとは限らない．ばねでつながれていれば，その後再び異なる速度になることもある．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m_{1}$ と $m_{2}$ の2物体を，自然長 $l$ ，ばね定数 $k$ の軽いばねでつなぐ．滑らかな水平面上で左を物体1，右を物体2とし，右向きの外力 $F_{1}, F_{2}$ をそれぞれに加える．距離を $s = x_{2} - x_{1}$ とする．

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考え方 外力がある場合，相対運動にも外力の加速度の差が加わる．外力なしの換算質量の式をそのまま使わず，各物体から導く．

m_{1} a_{1} = F_{1} + k (s - l), m_{2} a_{2} = F_{2} - k (s - l)

を得る．足せば $a_{G} = (F_{1} + F_{2}) / (m_{1} + m_{2})$ ．各式を質量で割って引けば

\ddot{s} = \frac{F_{2}}{m_{2}} - \frac{F_{1}}{m_{1}} - \frac{k}{μ} (s - l), μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

となる．

$s = l$ ， $\ddot{s} = 0$ より $F_{1} / m_{1} = F_{2} / m_{2}$ ．初期相対速度も0なので自然長を保てる．
$s = l - c$ を代入し， $0 = - F / m_{1} + k c / μ$ から $c = m_{2} F / {k (m_{1} + m_{2})}$ ．この距離と等しい初期速度を準備した場合の結果であり，自然長から急に力を加えても自動的にこの状態へ落ち着くわけではない．

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