運動量と質点系

2体問題の座標変換と例題

著者：柚木芹香

前の節で使った，重心と相対位置への書き換えの計算を確かめます．そのあと例題に進みます．

数学の道具

定理数学の道具：座標の書き換え

一直線上の2物体の位置 $x_{1}$ ， $x_{2}$ を，新しい2つの量

x_{G} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{M}, x = x_{1} - x_{2} (M = m_{1} + m_{2})

に書き換える．逆に解くには， $x_{2} = x_{1} - x$ を第1式の分子に入れる． $M x_{G} = m_{1} x_{1} + m_{2} (x_{1} - x) = M x_{1} - m_{2} x$ より

x_{1} = x_{G} + \frac{m_{2}}{M} x, x_{2} = x_{G} - \frac{m_{1}}{M} x

である．係数が定数なので，時間で微分しても同じ形のままである． $V = {\dot{x}}_{G}$ ， $w = \dot{x}$ とすると

v_{1} = V + \frac{m_{2}}{M} w, v_{2} = V - \frac{m_{1}}{M} w

加速度も同様である．運動量は $m_{1} \frac{m_{2}}{M} = μ$ に気づけば $p_{1} = m_{1} V + μ w$ ， $p_{2} = m_{2} V - μ w$ となり，足すと全運動量 $M V$ で，相対運動の部分は大きさが同じで逆向きの $\pm μ w$ である．換算質量は $\frac{1}{μ} = \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}$ とも書ける．

練習 1． $m_{1} = 2.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ ， $x_{1} = 1.0 m$ ， $x_{2} = 6.0 m$ のとき， $x_{G}$ と $x$ を求め，上の式で $x_{1}$ に戻ることを確かめよ．

練習 2． (1) $m_{1} = 6.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ の換算質量を求めよ．(2) $m_{2}$ を限りなく大きくすると， $μ$ は何に近づくか．

練習 3． $m_{1} = 2.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ の物体の速度が $v_{1} = 4.0 m s^{- 1}$ ， $v_{2} = - 2.0 m s^{- 1}$ のとき， $V$ ， $w$ ， $μ$ を求め， $p_{1} = m_{1} V + μ w$ が $m_{1} v_{1}$ に一致することを確かめよ．

答え：練習 1 は $x_{G} = \frac{2.0 \times 1.0 + 3.0 \times 6.0}{5.0} = 4.0 m$ ， $x = - 5.0 m$ ． $x_{1} = 4.0 + \frac{3}{5} \times (- 5.0) = 1.0 m$ で戻る．練習 2 は (1) $\frac{6.0 \times 3.0}{9.0} = 2.0 kg$ 　(2) $μ = \frac{m_{1}}{1 + m_{1} / m_{2}} \to m_{1}$ ．練習 3 は $V = \frac{2.0 \times 4.0 + 3.0 \times (- 2.0)}{5.0} = 0.40 m s^{- 1}$ ， $w = 6.0 m s^{- 1}$ ， $μ = 1.2 kg$ ． $p_{1} = 2.0 \times 0.40 + 1.2 \times 6.0 = 8.0 kg m s^{- 1} = m_{1} v_{1}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★★☆☆

滑らかな水平面上に質量 $m_{1} = 2.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ の物体が，自然長 $0.50 m$ ，ばね定数 $k = 2.0 \times 10^{2} N m^{- 1}$ の軽いばねでつながれ，一直線上にある．

$m_{1}$ を $m_{2}$ の向きに大きさ $F = 10 N$ の一定の力で押し続け，2物体が同じ加速度で動くようになった．加速度とばねの縮みを求めよ．
同じ大きさの力で， $m_{2}$ を $m_{1}$ の向きに押したときの縮みを求めよ．
1. の状態で力を取り去った直後の，重心の加速度と，距離の変化の加速度（相対加速度）を求め， $μ$ を使った式と比べよ．

**［図：一方を押すばね付き2物体］**
水平面上で，ばねでつないだ質量 $m_1$，$m_2$ の2物体．左の $m_1$ を右向きに力 $F$ で押す．ばねは縮んでいる．

解答を見る

考え方 全体を1つの物体と見て加速度を出し，片方の物体の運動方程式からばねの力を求める．

$m_{2}$ の向きを正とする．全体に外から働く力は $F$ だけなので $a = \frac{F}{m_{1} + m_{2}} = \frac{10}{5.0} = 2.0 m s^{- 2}$ ．縮みを $c$ とすると，ばねは $m_{2}$ を正の向きに $k c$ の力で押すので $m_{2} a = k c$ ．よって

c = \frac{m_{2} a}{k} = \frac{3.0 \times 2.0}{2.0 \times 10^{2}} = 3.0 \times 10^{- 2} m

加速度は負の向きに大きさ $2.0 m s^{- 2}$ ．ばねが $m_{1}$ を負の向きに押す力で $m_{1}$ を加速するので $k c^{'} = m_{1} \times 2.0$ ，よって $c^{'} = \frac{2.0 \times 2.0}{2.0 \times 10^{2}} = 2.0 \times 10^{- 2} m$ ．縮みは，押された側と反対の物体の質量に比例する．
ばねの力 $k c = 6.0 N$ だけが残る．加速度は $m_{1}$ が負の向きに $3.0 m s^{- 2}$ ， $m_{2}$ が正の向きに $2.0 m s^{- 2}$ である．重心の加速度は $\frac{2.0 \times (- 3.0) + 3.0 \times 2.0}{5.0} = 0$ ，相対加速度は $2.0 - (- 3.0) = 5.0 m s^{- 2}$ で， $μ = 1.2 kg$ から $k c / μ = 5.0 m s^{- 2}$ と一致する．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m_{1} = 3.0 \times 10^{30} kg$ ， $m_{2} = 1.0 \times 10^{30} kg$ の2つの星が，互いの万有引力だけで，距離 $a = 4.0 \times 10^{11} m$ を保ったまま重心の周りを等速円運動する（連星）．万有引力定数は $G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} {kg}^{- 2}$ とする．

2つの星の円軌道の半径の比と，それぞれの半径を求めよ．
角速度を求めよ．
2つの星の速さを求めよ．

**［図：共通重心を回る連星］**
重心 G を中心に，反対側で2つの星が同じ向きに円運動する図．重い $m_1$ は小さな円，軽い $m_2$ は大きな円を描き，$m_1$，G，$m_2$ は常に一直線上にある．

解答を見る

考え方 重心系では2つの星は重心の反対側にあり，重心からの距離は質量の逆比になる．角速度は同じで，万有引力が各星の向心力である．

重心からの距離は $r_{1} : r_{2} = m_{2} : m_{1} = 1 : 3$ ．和が $a$ なので

r_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} a = 1.0 \times 10^{11} m, r_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} a = 3.0 \times 10^{11} m

$m_{1}$ について $m_{1} r_{1} ω^{2} = G \frac{m_{1} m_{2}}{a^{2}}$ ． $r_{1} = \frac{m_{2}}{M} a$ を入れると $ω^{2} = \frac{G M}{a^{3}}$ ．

ω = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{- 11} \times 4.0 \times 10^{30}}{(4.0 \times 10^{11})^{3}}} \approx 6.5 \times 10^{- 8} rad s^{- 1}

$v_{1} = r_{1} ω \approx 6.5 \times 10^{3} m s^{- 1}$ ， $v_{2} = r_{2} ω \approx 1.9 \times 10^{4} m s^{- 1}$ である．速さの比も質量の逆比 $1 : 3$ になっている．

ポイントここまでのまとめ

$x_{G} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{M}$ ， $x = x_{1} - x_{2}$ の逆は $x_{1} = x_{G} + \frac{m_{2}}{M} x$ ， $x_{2} = x_{G} - \frac{m_{1}}{M} x$ ．速度や加速度も同じ形で書き換えられる．
重心の運動量は $M V$ ，相対運動の運動量は $\pm μ w$ ． $\frac{1}{μ} = \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}$ ．
一定の力で押し続けて2物体が同じ加速度で動くとき，ばねの縮みは，押された側と反対の物体の質量に比例する．
円軌道の連星では重心からの距離も速さも質量の逆比で， $ω^{2} = G M / a^{3}$ である．