運動量と質点系

2体問題

著者：柚木芹香

問い

月は地球の周りを回る，と言います．しかし月の質量は地球の約 $1 / 81$ で，月が地球を引く力と地球が月を引く力は，作用反作用で同じ大きさです．力が同じなのに，動くのは月だけなのでしょうか．地球は本当に動かないのでしょうか．

地球と月の中心の距離は $3.84 \times 10^{8} m$ です．地球が動くとしたら，その中心はどれほど動くのかも考えてみましょう．

考えてみる

地球が月を引く力を $F$ とすると，作用反作用で月が地球を引く力も $F$ です．運動方程式から，地球の加速度は $F / m_{1}$ ，月の加速度は $F / m_{2}$ で，質量が大きいほど動きにくくなります．地球が月の約81倍重いので，加速度は約 $1 / 81$ です．動かないのではなく，小さくしか動かないのです．

問題は，2つの物体の運動を同時に追いかけなければならないことです．互いの力は距離で決まるので，式が絡み合います．ここで，重心と相対位置という2つの量に注目すると，絡みがほどけて，1つの物体の問題2つに分かれます．

重心の運動と相対運動

質量 $m_{1}$ ， $m_{2}$ の2つの物体が，互いの力 $F$ だけを受けて運動するとします．外力は無いものとします．位置を $r_{1}$ ， $r_{2}$ とし， $m_{1}$ が受ける力を $F$ とすると， $m_{2}$ が受ける力は $- F$ です．

m_{1} {\ddot{r}}_{1} = F, m_{2} {\ddot{r}}_{2} = - F

ここで $\ddot{r}$ は $\frac{d^{2} r}{d t^{2}}$ の略記です．力 $F$ は2物体の相対位置 $r = r_{1} - r_{2}$ で決まるとします（万有引力もばねの力もそうです）．

**［図：重心位置と相対位置］**
質量 $m_1$，$m_2$ の2つの物体と，その重心 G．位置ベクトル $\vec{r}_1$，$\vec{r}_2$，相対位置 $\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2$，重心の位置 $\vec{r}_{\mathrm{G}}$ を矢印で示す．重心は2物体を結ぶ線分上で，重い方に寄った位置にある．

重心の運動． 2式を足すと，右辺の力は打ち消されます．重心 $r_{G} = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ，全質量 $M = m_{1} + m_{2}$ を使って

M {\ddot{r}}_{G} = 0

です．重心は等速直線運動をします．重心が静止して見える慣性系を重心系といい，以下ではこの系で考えます．

相対運動． 第1式を $m_{1}$ で，第2式を $m_{2}$ で割って引くと

\ddot{r} = {\ddot{r}}_{1} - {\ddot{r}}_{2} = (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}) F

です．これを

μ \ddot{r} = F, μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

と書きます．

定理 2体問題の分解

外力が無い2体の運動は，次の2つに分かれる．

重心は，等速直線運動をする．
相対位置 $r = r_{1} - r_{2}$ は，質量 $μ$ （換算質量）の1つの物体が力 $F$ を受けて動くのと同じ運動方程式 $μ \ddot{r} = F$ に従う．

換算質量は $\frac{1}{μ} = \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}$ で，軽いほうの質量より小さい． $m_{1}$ が $m_{2}$ よりずっと大きいとき $μ \approx m_{2}$ で，重い物体は動かないと見なしてよい．

最後に，重心系での各物体の位置に戻します． $r_{1} = r_{G} + \frac{m_{2}}{M} r$ ， $r_{2} = r_{G} - \frac{m_{1}}{M} r$ です（導き方は次の節で示します）．重心系では，2つの物体は重心をはさんで反対側にあり，重心からの距離は質量の逆比です．

地球と月

「重心の求め方」の例題 1 で求めた重心の位置を，ここでは2体の運動として見直します．地球の中心と月の距離を $r = 3.84 \times 10^{8} m$ ，地球の質量を $m_{1}$ ，月の質量を $m_{2}$ とします．地球の中心から重心までの距離は

\frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} r = \frac{7.35 \times 10^{22}}{5.97 \times 10^{24} + 7.35 \times 10^{22}} \times 3.84 \times 10^{8} \approx 4.7 \times 10^{6} m

です．地球の半径 $6.4 \times 10^{6} m$ より短く，重心は地球の内部にあります．太陽などの影響を無視して月の軌道を円と近似すると，地球の中心は，この重心を中心に，月と同じ周期で小さな円を描いて回っていることになります．これが問いの答えです．

**［図：地球も共通重心を回る］**
地球と月が，共通の重心 G を中心に反対側で円軌道を描く図．地球の円は小さく，月の円は大きい．重心は地球の内部にあり，地球の中心の軌道半径は約 $4.7\times10^{3}\,\mathrm{km}$ と書き入れる．

太陽と地球では，重心は太陽の中心から約 $450 km$ で，太陽の半径に比べればほとんど中心です．

円運動の角速度

2つの物体が重心を中心に，距離 $a$ を保って円運動するとします．重心系では， $m_{1}$ は半径 $\frac{m_{2}}{M} a$ ， $m_{2}$ は半径 $\frac{m_{1}}{M} a$ の円を描き，互いの位置は常に重心をはさんだ反対側なので，角速度 $ω$ は同じです．万有引力 $G \frac{m_{1} m_{2}}{a^{2}}$ （ $G$ は万有引力定数で，この式は第10章でくわしく扱うので，ここでは先に使います）が向心力なので， $m_{1}$ について

m_{1} \cdot \frac{m_{2}}{M} a ω^{2} = G \frac{m_{1} m_{2}}{a^{2}} ⟹ ω^{2} = \frac{G M}{a^{3}}

です．質量は全質量 $M$ として入ります． $m_{1}$ が $m_{2}$ よりずっと大きければ $M \approx m_{1}$ で，動かない物体の周りを回る円運動の式に戻ります．

ばねでつないだ2物体

滑らかな水平面上で，質量 $m_{1}$ ， $m_{2}$ の物体を自然長 $l$ のばね（ばね定数 $k$ ）でつなぎます．一直線上の運動では，2物体の距離 $s$ について $μ \ddot{s} = - k (s - l)$ となります．相対運動は，質量 $μ$ の1つの物体がばねにつながれた運動と同じで，周期は後の章（第7章）で求めます．

重心系では，重心は動きません． $m_{1}$ の動く距離と $m_{2}$ の動く距離の比は，質量の逆比 $m_{2} : m_{1}$ です．

ポイントここまでのまとめ

外力が無い2体は，重心の運動（等速直線運動）と相対運動に分かれる．重心系では，重心からの距離は質量の逆比である．
相対位置は，換算質量 $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ の1物体の運動方程式 $μ \ddot{r} = F$ に従う．
円運動する2体では $ω^{2} = G M / a^{3}$ （ $M$ は全質量， $a$ は2体間の距離）．
問いの答えは，地球も動く，である．月の軌道を円と近似すると，地球の中心は，地球の内部にある重心（中心から約 $4.7 \times 10^{3} km$ ）のまわりを，月と同じ角速度で回る．