交流回路と共振の演習 | 問いから始める物理

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

$R = 60 Ω$ ， $C = 12.5 μ F$ を直列にし， $V (t) = V_{0} \cos ω t$ ， $V_{0} = 10 V$ ， $ω = 1.0 \times 10^{3} s^{- 1}$ を加えます．定常状態とします．

インピーダンスと複素振幅，実際の電流を求めよ．
電流の実効値，力率，平均消費電力を求めよ．

**［図：交流電源につないだ直列RC回路］**
直列RC回路の電源と電流方向を示す．

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考え方 複素振幅を実部へ戻す．

$Z = R + 1 / (i ω C) = (60 - 80 i) Ω$ ． $\hat{V} = V_{0}$ とすると

\hat{I} = \frac{10}{60 - 80 i} A = (0.060 + 0.080 i) A

実部は $I (t) = (0.060 \cos ω t - 0.080 \sin ω t) A$ ．

$I_{e} = | \hat{I} | / \sqrt{2} = 0.071 A$ ，力率は $R / | Z | = 0.60$ ． $P = Re (\hat{V} {\hat{I}}^{*}) / 2 = 0.30 W = R I_{e}^{2}$ ．星印は複素共役． $C \to \infty$ で位相差が消える．

演習 2

東京大 1990 後期（改題） ★★☆☆☆

実効電圧 $100 V$ の電源から理想変圧器と往復抵抗 $R = 10.0 Ω$ の送電線を経て抵抗負荷へ送電します．受電電力は $P = 2.25 kW$ ，受電電圧は $V_{r, e} = 450 V$ ，巻数比は $n = N_{2} / N_{1}$ ．磁化電流は0とします．

送電電流，2次電圧，1次電流の実効値と，巻数比，線路の損失を求めよ．
負荷と巻数比を変え，同じ受電電力を受電電圧 $150 V$ で送るとき，送電線の損失は何倍になるか．

**［図：理想変圧器と往復送電線］**
変圧器，往復の送電線，抵抗負荷と電圧の測定端を示す．

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考え方 受電電圧に電圧降下を足す．

回路の式は ${\hat{V}}_{2} = {\hat{V}}_{r} + R {\hat{I}}_{2}$ ．全て実数に取れる． $I_{2, e} = P / V_{r, e} = 5.00 A$ ， $V_{2, e} = 450 + 10.0 \times 5.00 = 500 V$ より $n = 5.00$ ．1次へ流入，2次から流出を正として ${\hat{V}}_{2} = n {\hat{V}}_{1}$ ， ${\hat{I}}_{1} = n {\hat{I}}_{2}$ ．したがって $I_{1, e} = 25.0 A$ ， $P_{loss} = R I_{2, e}^{2} = 250 W$ ．
$I_{2, e} = 2250 / 150 = 15.0 A$ となり，損失は $2.25 kW$ ，9倍である．損失は受電電圧の2乗に反比例する．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

理想電源から抵抗 $R$ を経た出力端と接地の間に， $C$ と負荷抵抗 $R$ を並列につなぎます．入力は $V_{0} \cos ω t$ ，出力は接地基準です．

出力と入力の複素振幅比 $H$ と， $ω R C = 2$ での実際の出力を求めよ．
出力の振幅が低周波極限の $1 / \sqrt{2}$ になる遮断角振動数を求めよ．

**［図：負荷抵抗を含むRC回路］**
直列抵抗と並列RC，接地と出力端を示す．

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考え方 負荷を含めて並列合成する．

並列部分は $Z_{p} = {(1 / R + i ω C)}^{- 1} = R / (1 + i ω R C)$ ．分圧から

H = \frac{Z_{p}}{R + Z_{p}} = \frac{1}{2 + i ω R C}

$ω R C = 2$ なら $H = (1 - i) / 4$ ．実部へ戻すと $V_{out} = V_{0} \cos (ω t - π / 4) / (2 \sqrt{2})$ ．

$| H | = 1 / \sqrt{4 + ω^{2} R^{2} C^{2}}$ ，低周波極限は $1 / 2$ なので， $4 + ω_{c}^{2} R^{2} C^{2} = 8$ より $ω_{c} = 2 / (R C)$ ．無負荷の場合の2倍である． $ω \to \infty$ で出力は0になる．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

直列RLC回路に振幅 $V_{0} = 4.50 V$ 一定の交流電圧を加えます．電流の最大振幅は $I_{0, max} = 0.100 A$ ，その $1 / \sqrt{2}$ となる角振動数は表の値です．素子定数は一定，電源・計器の抵抗は0です．

測定点	$ω$ （ $s^{- 1}$ ）
低周波側	$8.00 \times 10^{2}$
高周波側	$1.25 \times 10^{3}$

共振角振動数， $R, L, C$ を求めよ．
$Q = ω_{0} L / R$ を求め，共振幅から読む値と比べよ．

**［図：直列RLC回路と二つの測定点］**
直列RLC回路と両測定点を示す．頂点の周波数は記さない．

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考え方 半電力点ではリアクタンスの絶対値は抵抗に等しい．

$Z = R + i X$ ， $X = ω L - 1 / (ω C)$ より $I_{0} = V_{0} / \sqrt{R^{2} + X^{2}}$ ．最大値は $X = 0$ で， $R = V_{0} / I_{0, max} = 45.0 Ω$ ．両側で $X = \mp R$ だから

L ω_{-}^{2} + R ω_{-} - 1 / C = 0, L ω_{+}^{2} - R ω_{+} - 1 / C = 0

差と代入から $L (ω_{+} - ω_{-}) = R$ ， $ω_{-} ω_{+} = 1 / (L C) = ω_{0}^{2}$ ．したがって $ω_{0} = 1.00 \times 10^{3} s^{- 1}$ ， $L = 0.100 H$ ， $C = 10.0 μ F$ ．

$Q = 1000 \times 0.100 / 45.0 = 2.22$ ． $Δ ω = 450 s^{- 1}$ より $ω_{0} / Δ ω = 2.22$ ．半電力幅の厳密な関係である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

ブリッジのAD間に交流電源をつなぎます．ABは未知の抵抗 $r$ とコイル $L$ の直列，BDは $R_{2}$ ，ACは $R_{3}$ ，CDは $R_{4}$ とコンデンサー $C$ の並列です．BC間の検出器は平衡時に電流0です．

平衡条件から $r, L$ を求めよ．
$(R_{2}, R_{3}, R_{4}) = (200, 300, 600) Ω$ ， $C = 0.50 μ F$ で $r, L$ を求めよ．周波数を2倍にしても平衡するか．

**［図：交流ブリッジの四辺と検出器］**
四辺の素子，ADの電源，BCの検出器を示す．

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考え方 平衡時の枝の分圧を等置する．

Dを電圧の基準とすると $Z_{1} = r + i ω L$ ， $Z_{4} = R_{4} / (1 + i ω R_{4} C)$ ．平衡は

\hat{V} \frac{R_{2}}{Z_{1} + R_{2}} = \hat{V} \frac{Z_{4}}{R_{3} + Z_{4}}

なので $Z_{1} Z_{4} = R_{2} R_{3}$ ， $r + i ω L = R_{2} R_{3} / R_{4} + i ω R_{2} R_{3} C$ ．実部・虚部から $r = R_{2} R_{3} / R_{4}$ ， $L = R_{2} R_{3} C$ ．

$r = 100 Ω$ ， $L = 0.030 H$ ．周波数によらず平衡する． $R^{2} C$ の次元も $H$ に一致する．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

内部抵抗 $r > 0$ ，自己インダクタンス $L$ のコイルと $C$ を並列にし， $V_{0} \cos ω t$ を加えます．並列共振は電源の電圧と電流が同位相になる正の角振動数です．

共振角振動数と存在条件を求めよ．
共振時の各電流の複素振幅と平均電力を求めよ．

**［図：内部抵抗を含む並列LC回路］**
並列LCと内部抵抗，電源と各電流方向を示す．

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考え方 逆数を足し，枝電流の虚部を打ち消す．

$\hat{I} = Y \hat{V}$ と置くと

Y = \frac{1}{r + i ω L} + i ω C = \frac{r}{r^{2} + ω^{2} L^{2}} + i (ω C - \frac{ω L}{r^{2} + ω^{2} L^{2}})

虚部0から $r^{2} + ω_{p}^{2} L^{2} = L / C$ ， $ω_{p} = \sqrt{1 / (L C) - r^{2} / L^{2}}$ ．条件は $r^{2} C / L < 1$ である．

$\hat{V} = V_{0}$ として，共振条件から

{\hat{I}}_{L} = V_{0} (\frac{r C}{L} - i ω_{p} C), {\hat{I}}_{C} = i ω_{p} C V_{0}, \hat{I} = \frac{r C}{L} V_{0}

$P = Re (\hat{V} {\hat{I}}^{*}) / 2 = V_{0}^{2} r C / (2 L)$ ．コイルの発熱も $r V_{0}^{2} / [2 (r^{2} + ω_{p}^{2} L^{2})] = P$ と一致する． $ω_{p} \approx 1 / \sqrt{L C}$ とするには， $r^{2} C / L$ が十分小さいことが必要である．また信号伝達時間 $t_{d}$ に対し， $ω t_{d}$ が小さい集中定数近似である．