運動を記述する

加速度

著者：柚木芹香

問い

電車の中で立っていると，体が押されると感じることがあります．どんなときに，どちら向きに押されるでしょうか．

もう1つ考えてください．電車が一定の速さのままカーブを曲がるときも，体は押されます．速さが変わっていないのに「押される」ことは，あるのでしょうか．

考えてみる

思い出してみてください．発車するとき，体は後ろへ押されます．ブレーキをかけると前へ，カーブでは外側へ押されます．一方，まっすぐ一定の速さで走っているときは，止まっているのと区別がつきません．

つまり，押される感覚は「速さ」そのものではなく，速度が変わることと結びついているようです．しかも発車・ブレーキは速さが変わる場合，カーブは速さが同じで向きが変わる場合です．速度は向きをもつベクトルなので，向きだけが変わっても「速度が変わった」ことになります．この節では，速度の変化の割合を表す量，加速度を作ります．そうすれば，カーブで押される理由も，加速度の向きとして整理できます．（なぜ体が「押される」と感じるのかは，第4章「力と運動の法則」の慣性の節で扱います．ここでは，感じる向きが加速度と逆向きだと覚えておいてください．）

加速度の定義

位置の変化の割合が速度でした．その速度が変化する割合が加速度です．

定義加速度

時刻 $t_{1}$ の速度が $v_{1}$ ， $t_{2}$ の速度が $v_{2}$ のとき，平均加速度は

\bar{a} = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}}

瞬間加速度（加速度）は，その極限

a = \frac{d v}{d t} = (\frac{d v_{x}}{d t}, \frac{d v_{y}}{d t})

単位は $m s^{- 2}$ ．直線上では $a = \frac{d v}{d t}$ である．

速度は位置の時間微分，加速度は速度の時間微分なので，位置を2回微分したものが加速度です．これを2階微分といい，

a = \frac{d}{d t} (\frac{d x}{d t}) = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}

と書きます． $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ は「 $d$ の2乗」ではなく，2回微分を表す記号です．

単位 $m s^{- 2}$ は，「1秒あたりに速度が何 $m s^{- 1}$ 変わるか」を表します．たとえば通勤電車の発車時の加速度は $1 m s^{- 2}$ 弱で，1秒ごとに速度がそのくらいずつ増えます．落下する物体の加速度は約 $9.8 m s^{- 2}$ で，1秒ごとに速度が約 $9.8 m s^{- 1}$ ずつ増えます．

加速度の向き

直線上では，速度の符号と加速度の符号を組にして考えます． $v$ と $a$ が同符号なら速さは増え，異符号なら速さは減ります．たとえば $v < 0$ （負の向きに進む）で $a > 0$ なら，減速しています．「 $a > 0$ ＝加速」とは限りません．

平面では，平均加速度の向きは $Δ v$ の向きです． $a$ を速度に平行な成分と垂直な成分に分けて考えると，平行な成分は速さの変化を，垂直な成分は向きの変化を表します．

発車・ブレーキ： $a$ は速度に平行（進行方向，またはその逆）．
一定の速さのカーブ： $a$ は速度に垂直で，曲がる側（カーブの内側）を向く．

**［図：曲がる道路で速度の差は内側を向く］**
左は曲がる道路を走る車の軌道で，点1の速度v1と点2の速度v2を青い矢印で示す．右はv2をv1と同じ始点に移し，v1の先からv2の先へ緑の矢印でΔv＝v2−v1を引く．Δvは軌道の内側（曲がる側）を向き，加速度の向きと一致する．

最初の問いの答えは次のようになります．カーブで押されるのは，速さが一定でも速度の向きが変わるので，加速度（内向き）があるからです．感じる向きは加速度と逆の外向きになります．

グラフの対応

速度が x-t グラフの接線の傾きであったのと同様に，加速度は v-t グラフの接線の傾きです．x-t，v-t，a-t の3つのグラフは，次のように対応します．

グラフ	値	傾きは
x-t	位置 $x$	速度 $v$
v-t	速度 $v$	加速度 $a$
a-t	加速度 $a$	（この本では扱わない）

x-t が下に凸（傾きが増える）なら $a > 0$ ，上に凸なら $a < 0$ です．

ポイントここまでのまとめ

加速度は速度の時間変化率で， $a = \frac{d v}{d t}$ ．位置を2回微分したもの（ $a = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ ）でもある．
直線上では， $v$ と $a$ が同符号なら加速，異符号なら減速． $a > 0$ だけでは加速と決まらない．
速さが一定でも，向きが変われば $Δ v \neq 0$ なので加速度がある．カーブでの加速度は曲がる側（内側）を向く．
v-tグラフの接線の傾きが加速度である．
問いの答え：カーブで押されるのは，速度の向きが変わる（内向きの加速度がある）から．感じる向きは加速度と逆の外向き．