運動を記述する

加速度と微分の道具

著者：柚木芹香

微分のさらなる道具

位置が $\sin ω t$ のような形で書ける運動を扱うために，2つの道具を用意します．

定理数学の道具：合成関数の微分と三角関数の微分

連鎖律　 $y = f (u)$ ， $u = g (t)$ のとき，

\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}

導出　 $t$ が $Δ t$ 変わったとき $u$ が $Δ u$ ， $y$ が $Δ y$ 変わるとすると， $\frac{Δ y}{Δ t} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ t}$ ． $Δ t \to 0$ で $Δ u \to 0$ なので，右辺は $f^{'} (u) g^{'} (t)$ に近づく（ここでは $Δ u \neq 0$ の場合を示した． $u$ が定数のときは $y$ も定数で，両辺とも 0 なので公式は成り立つ）．　たとえば $x = (3 t + 1)^{2}$ は $u = 3 t + 1$ として $2 u \cdot 3 = 6 (3 t + 1)$ ．展開して $x = 9 t^{2} + 6 t + 1$ を微分した $18 t + 6$ と一致する．

三角関数の微分（角はラジアンで測る）

(\sin θ)^{'} = \cos θ, (\cos θ)^{'} = - \sin θ

導出　高校で学ぶ加法定理 $\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$ （放物運動の節で復習します．まだ習っていなければ，ここでは認めて進んでください）で $α = θ$ ， $β = h$ とおくと $\sin (θ + h) - \sin θ = \sin θ (\cos h - 1) + \cos θ \sin h$ ．両辺を $h$ で割り，次の2つの極限を使う．

**［図：三角形と扇形の面積の大小］**
単位円の第1象限に角h（ラジアン）の扇形を描き，同じ弧を持つ3つの図形を並べる．左は扇形に内接する三角形で面積は½sin h，中央は扇形で面積は½h，右は外接する三角形で面積は½tan h．面積の大小は½sin h＜½h＜½tan h．

$lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ （図の面積の大小 $\sin h < h < \tan h$ より $\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1$ ， $h \to 0$ で $\cos h \to 1$ から，挟み込みで従う．）
$\frac{\cos h - 1}{h} = - \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{1 + \cos h} \to - 1 \cdot 0 = 0$

よって $(\sin θ)^{'} = \cos θ$ ．また $\cos θ = \sin (θ + \frac{π}{2})$ に連鎖律を使うと $(\cos θ)^{'} = \cos (θ + \frac{π}{2}) = - \sin θ$ ．

角速度を含む形　 $ω$ を，角が時間とともに増える割合を表す定数とします（くわしい定義はこの章の最後の円運動の節で扱います）． $u = ω t$ として連鎖律を使うと

\frac{d}{d t} \sin ω t = ω \cos ω t, \frac{d}{d t} \cos ω t = - ω \sin ω t

練習．

$\frac{d}{d t} \sin 3 t$ ， $\frac{d}{d t} \cos (2 t + 1)$ を求めよ．
$\frac{d}{d t} {(\sin t)}^{2}$ を求めよ．
$\frac{d}{d t} {(2 t^{2} + 1)}^{3}$ と $\frac{d}{d t} (t \sin t)$ を求めよ．
位置が $x = 0.20 \sin (5.0 t) [m]$ （ $t$ は秒）の運動について，速度 $v$ と加速度 $a$ を求め，速さの最大値と加速度の大きさの最大値を答えよ．

答え：(1) $3 \cos 3 t$ ， $- 2 \sin (2 t + 1)$ ．　(2) $u = \sin t$ とすると $u^{2}$ の微分は $2 u$ で $\frac{d u}{d t} = \cos t$ なので， $2 \sin t \cos t$ ．　(3) $u = 2 t^{2} + 1$ として $3 u^{2} \cdot 4 t = 12 t (2 t^{2} + 1)^{2}$ ．積の微分で $\sin t + t \cos t$ ．　(4) $v = 0.20 \times 5.0 \cos (5.0 t) = 1.0 \cos (5.0 t) m s^{- 1}$ ， $a = - 5.0 \sin (5.0 t) m s^{- 2}$ ．速さの最大値は $1.0 m s^{- 1}$ ，加速度の大きさの最大値は $5.0 m s^{- 2}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

直線上を動く物体の v-t グラフが，次の折れ線である． $t = 0$ で $v = 0$ ， $t = 2 s$ で $v = 4 m s^{- 1}$ ， $t = 6 s$ で $v = 4 m s^{- 1}$ ， $t = 10 s$ で $v = 0$ （各区間は直線）． $t = 0$ の位置を $x = 0$ として，a-t グラフと x-t グラフの形を求めよ．

解答を見る

考え方 加速度は v-t グラフの傾き．位置は，傾きが速度になるように x-t を作る（面積の考え方は「速度から位置へ」で学ぶ）．

加速度（v-t の傾き）：0〜2 s は $\frac{4 - 0}{2} = 2 m s^{- 2}$ ，2〜6 s は $0$ ，6〜10 s は $\frac{0 - 4}{4} = - 1 m s^{- 2}$ ．

位置：0〜2 s は $v = 2 t$ なので $x = t^{2}$ （微分すると $2 t$ ， $x (0) = 0$ ）． $x (2) = 4 m$ ．2〜6 s は等速で $x = 4 + 4 (t - 2)$ ， $x (6) = 20 m$ ．6〜10 s は $v = 4 - (t - 6)$ なので， $x = 20 + 4 (t - 6) - \frac{1}{2} (t - 6)^{2}$ （微分すると $4 - (t - 6)$ になる）． $x (10) = 20 + 16 - 8 = 28 m$ ．

x-t は，0〜2 s で下に凸，2〜6 s で直線，6〜10 s で上に凸になり，つなぎ目で傾きがなめらかに接続する．最後は傾きが 0 になる（停止）．a-t は $v$ の傾きが急に変わるところで，値が飛ぶ．

**［図：v-t，a-t，x-tグラフの対応］**
既知の速度と時刻の関係だけを示す．加速度と位置のグラフは設問で求める．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

速さ $20 m s^{- 1}$ で東へ走る車が，交差点で曲がり，5.0 s 後には速さ $20 m s^{- 1}$ で北へ走っていた．この間の平均加速度ベクトルの大きさと向きを求めよ．速さは変わっていないのに，加速度は0か．

**［図：交差点で曲がる車］**
東向きと北向きの速度を共通の始点から描く．両方の速さは20 m s⁻¹で，時間差は5.0 s．

解答を見る

考え方 平均加速度は速度ベクトルの差を時間で割る．差はベクトルとして計算する．

東を $x$ ，北を $y$ の正の向きとすると， $v_{1} = (20, 0) m s^{- 1}$ ， $v_{2} = (0, 20) m s^{- 1}$ ．

Δ v = v_{2} - v_{1} = (- 20, 20) m s^{- 1}, \bar{a} = \frac{Δ v}{5.0 s} = (- 4.0, 4.0) m s^{- 2}

大きさは $4.0 \sqrt{2} \approx 5.7 m s^{- 2}$ ，向きは北西（ $x$ 軸から $135^{\circ}$ ）．

速さは同じでも，向きが変わったので $Δ v \neq 0$ であり，加速度は0でない．北西は，東から北へ曲がる車の曲がる側（内側）にあたる．

ポイントここまでのまとめ

連鎖律： $y = f (u)$ ， $u = g (t)$ のとき $\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$ ．
三角関数の微分（角はラジアン）： $(\sin θ)^{'} = \cos θ$ ， $(\cos θ)^{'} = - \sin θ$ ．角速度を含む形は $\frac{d}{d t} \sin ω t = ω \cos ω t$ ， $\frac{d}{d t} \cos ω t = - ω \sin ω t$ ．
v-tグラフの傾きから a-t グラフができ，x-tグラフは傾きが $v$ になるようにつないで描く．
平面運動の平均加速度は，速度の差をベクトルとして計算して $Δ t$ で割る．速さが同じでも0とは限らない．