加速度の演習

0〜3 s：$v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t$，$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$．$t=3$ で $v=6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．
3〜6 s：$v=6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$（一定），$a=0$．

v-t は原点から傾き 2 で直線的に増え，$t=3$ 以降は水平．$v$ は $t=3$ でつながっている（$x$ の傾きに飛びがないため）．a-t は，$a=2$ が $t=3$ で 0 に飛ぶ階段状．

$v=4t-8[\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}]$，$a=4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$（一定）．
$t=1$：$v=-4$，$a=4$ で異符号なので減速（負の向きに進みながら速さが減る）．$t=2$：$v=0$（折返し）．$t=3$：$v=4$，$a=4$ で同符号なので加速．

連鎖律と $(\cos \theta {)}^{\prime }=-\sin \theta$ より

$A\cos \omega t=x$ なので $a=-{\omega }^{2}x$．

意味：加速度は，原点からのずれ $x$ に比例し，常に原点向き（$x$ と逆符号）である．$x>0$ では $a<0$ で原点へ戻され，$x<0$ では $a>0$ でやはり原点へ戻される．この形の運動を単振動といい，第4章以降で力の法則と結びつく．

1. 東を $x$，北を $y$ の正の向きとして，${\mathit{v}}_1=(15,0)$，${\mathit{v}}_2=(15\cos {60}^{\circ },15\sin {60}^{\circ })=(7.5,13.0)$．$\mathrm{\Delta }\mathit{v}=(-7.5,13.0)\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ なので

大きさは $\sqrt{{2.5}^2+{4.3}^2}\approx 5.0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$．向きは $x$ 軸から約 ${120}^{\circ }$（北から西へ約 ${30}^{\circ }$）．これは ${\mathit{v}}_1$ と ${\mathit{v}}_2$ の中間の向き（${30}^{\circ }$）に垂直で，曲がる側（左）を向く．

2. $v^2=v_x^2+v_y^2$ の両辺を $t$ で微分する．連鎖律より左辺は $2v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$，右辺は $2v_x{a}_x+2v_y{a}_y=2\mathit{v}\cdot \mathit{a}$．よって

速さが一定なら $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ なので $\mathit{v}\cdot \mathit{a}=0$，すなわち $\mathit{a}⟂\mathit{v}$．

3. 2. の式から，速さが減る（$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}<0$）とき $\mathit{v}\cdot \mathit{a}<0$．したがって $\mathit{a}$ は，垂直な向き（曲がる側）に加え，速度と逆向きの成分ももつ．曲がる側を向いたまま，後ろ側に傾く．

1. 成分ごとに連鎖律で微分して

2. $\mathit{a}=-{\omega }^2(3\cos \omega t,2\sin \omega t)=-{\omega }^2\mathit{r}$．加速度は常に原点（楕円の中心）を向くが，大きさ ${\omega }^2\left|\mathit{r}\right|$ と向きは時間とともに変わるので，一定ではない．等加速度運動の公式は使えない．

3. $\left|\mathit{a}\right|={\omega }^2\left|\mathit{r}\right|={\omega }^2\sqrt{9{\cos }^2\omega t+4{\sin }^2\omega t}$．$\left|\mathit{r}\right|$ は，長軸の端 $(\pm 3,0)$ で最大，短軸の端 $(0,\pm 2)$ で最小である．したがって最大は $4.0\times 3=12\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$（$(\pm 3,0)$ のとき），最小は $4.0\times 2=8.0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$（$(0,\pm 2)$ のとき）．