運動を記述する

速度の演習

著者：柚木芹香

平均速度と瞬間速度，速さと速度の違いを，式とグラフの両方から確かめます．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

位置が $x = 2 t^{2} + t [m]$ の物体について，次を求めよ．

**［図：与えられた位置のグラフ］**
問題で与えられたxと時刻tの関係を示す．求める量やその値は記入しない．

$t = 1 s$ から $2 s$ ， $1 s$ から $1.1 s$ ， $1 s$ から $1.01 s$ の平均速度．
$t = 1 s$ の瞬間速度．(1) の値とどう関係するか．

解答を見る

$x (1) = 3 m$ ．

$x (2) = 10$ より $\frac{10 - 3}{1} = 7 m s^{- 1}$ ． $x (1.1) = 2 (1.21) + 1.1 = 3.52$ より $\frac{3.52 - 3}{0.1} = 5.2 m s^{- 1}$ ． $x (1.01) = 2 (1.0201) + 1.01 = 3.0502$ より $\frac{0.0502}{0.01} = 5.02 m s^{- 1}$ ．
$v = \frac{d x}{d t} = 4 t + 1$ より $v (1) = 5 m s^{- 1}$ ．区間の幅 $h$ の平均速度は $5 + 2 h$ と書け， $h \to 0$ で $5 m s^{- 1}$ に近づく．(1) の値もそうなっている．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

家から店までの道のりを $L$ とし，行きは速さ $6.0 km / h$ ，帰りは同じ道を速さ $4.0 km / h$ で，それぞれ一定の速さで歩く．

**［図：家と店の往復］**
距離Lの同じ道を，行き6.0 km/h，帰り4.0 km/hで歩く．

往復全体の平均の速さを求めよ．
往復全体の平均速度を求めよ．
行きの速さを $v_{1}$ ，帰りの速さを $v_{2}$ として，(1) を文字で表せ． $v_{1}$ と $v_{2}$ の平均 $(v_{1} + v_{2}) / 2$ とは同じか．

解答を見る

行きの時間は $L / 6.0$ ，帰りは $L / 4.0$ ．合計の時間は $L (\frac{1}{6.0} + \frac{1}{4.0}) = \frac{5 L}{12} h$ ．道のりは $2 L$ ．平均の速さは $\frac{2 L}{5 L / 12} = \frac{24}{5} = 4.8 km / h$ ． $L$ によらない．
出発点に戻るので変位は $0$ ．平均速度は $0$ ．
時間の合計は $L (\frac{1}{v_{1}} + \frac{1}{v_{2}}) = L \frac{v_{1} + v_{2}}{v_{1} v_{2}}$ で，平均の速さは $\frac{2 L}{L (v_{1} + v_{2}) / (v_{1} v_{2})} = \frac{2 v_{1} v_{2}}{v_{1} + v_{2}}$ ．算術平均 $5.0$ とは異なる（遅い速さの時間のほうが長いため）． $v_{1} = v_{2}$ のときだけ一致する．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

位置が $x = A \sin ω t$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ は定数． $t$ は秒， $x$ は m）で表される振動を考える．三角関数の微分は加速度の節で学ぶので，ここでは $θ \to 0$ で $\frac{\sin θ}{θ} \to 1$ となることだけを認める．

**［図：振動する点の位置］**
x軸上の振動の範囲と原点を示す．速度と加速度は描かない．

$t = 0$ の速度を，微分の定義にしたがって求めよ．
周期 $T$ を求めよ．また x-t グラフの形から， $v = 0$ になる時刻と，速さが最大になる時刻を $T$ で表せ（ $0 \leq t \leq T$ ）．
速さの最大値を求めよ．

解答を見る

$v (0) = lim_{h \to 0} \frac{A \sin (ω h) - 0}{h} = lim_{h \to 0} A ω \frac{\sin (ω h)}{ω h} = A ω$ ．
$ω T = 2 π$ より $T = 2 π / ω$ ．x-t グラフは $t = 0$ で原点を通り， $t = T / 4$ で最大値 $A$ ， $t = T / 2$ で再び原点， $t = 3 T / 4$ で最小値 $- A$ をとる．接線が水平になるのは山と谷の頂点なので， $v = 0$ は $t = T / 4, 3 T / 4$ ．傾きが最も急なのは原点を横切る $t = 0, T / 2, T$ で，このとき速さが最大．
$t = 0$ の速度が $A ω$ だった． $t = T / 2$ ではグラフが点対称なので，傾きの絶対値は同じ．速さの最大値は $A ω$ ．加速度の節で $v = A ω \cos ω t$ と求めるものと，この最大値は一致する．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

位置が $x = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t [m]$ で表される物体がある．

速度が0になる時刻と，そのときの位置を求めよ．
$t = 0$ から $5 s$ までの変位，道のり，平均速度，平均の速さを求めよ．

解答を見る

$v = 3 t^{2} - 18 t + 24 = 3 (t - 2) (t - 4)$ ． $v = 0$ は $t = 2 s$ と $4 s$ ． $x (2) = 8 - 36 + 48 = 20 m$ ， $x (4) = 64 - 144 + 96 = 16 m$ ．
$v$ の符号は $t < 2$ で正， $2 < t < 4$ で負， $t > 4$ で正．よって $0 \to 20 m$ （ $t = 0$ から $2$ ）， $20 \to 16 m$ （ $2$ から $4$ ）， $16 \to x (5)$ （ $4$ から $5$ ）と動く． $x (5) = 125 - 225 + 120 = 20 m$ ．

変位： $x (5) - x (0) = 20 m$ ．道のり： $20 + 4 + 4 = 28 m$ ．平均速度： $20 / 5 = 4 m s^{- 1}$ ．平均の速さ： $28 / 5 = 5.6 m s^{- 1}$ ．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

一直線上の道路で，車Aが位置 $x_{A} = 15 + 2 t [m]$ （等速），その後ろから車Bが位置 $x_{B} = 8 t - t^{2} [m]$ で動く（ $0 \leq t \leq 4 s$ ）．

**［図：二台の車の初期位置］**
時刻0でBは原点，Aはその15 m前方にいる．位置の時間変化は問題文で与えられる．

2台の速度 $v_{A}$ ， $v_{B}$ を求めよ．
2台の距離 $d = x_{A} - x_{B}$ が最小になる時刻と，その最小値を求めよ．
1. の時刻に2台の速度にどんな関係が成り立つか． $d$ を時間で微分して説明せよ．

解答を見る

$v_{A} = 2 m s^{- 1}$ ， $v_{B} = 8 - 2 t [m s^{- 1}]$ ．
$d = 15 + 2 t - (8 t - t^{2}) = t^{2} - 6 t + 15 = (t - 3)^{2} + 6$ ． $t = 3 s$ で最小値 $6 m$ ． $d > 0$ なので，BはAに追いつかない．
$t = 3$ で $v_{B} = 2 = v_{A}$ ，すなわち速度が等しい． $d$ を微分すると

\frac{d d}{d t} = \frac{d x_{A}}{d t} - \frac{d x_{B}}{d t} = v_{A} - v_{B}

で，これは2台が近づく・離れる割合を表す． $t < 3$ では $v_{B} > v_{A}$ なので $d$ は減り， $t > 3$ では $v_{B} < v_{A}$ なので $d$ は増える．減る状態から増える状態に移る瞬間に最小になり，その瞬間は $\frac{d d}{d t} = 0$ ，つまり速度が等しい．

ポイント教える人へ

問いの「メーターの数字」は，何を測った量かを言葉で言わせる．「1時間後に進む距離」と答えが出たら，その時間がまだ経っていないことを指摘して，短い時間の平均を縮める流れへ誘導する．
$h = 1, 0.1, 0.01$ と表を作らせると，極限を実感できる．
よくあるつまずきは，速度と速さの混同（特に往復）と， $\frac{d x}{d t}$ を単なる割り算と読むことである．
確かめには，x-tグラフに接線を引き，傾きが公式の値と合うかを見させるのが有効である．