運動を記述する

速度と微分

著者：柚木芹香

前の節で，瞬間速度は極限で定義できることを見ました．位置が時刻の式で与えられているとき，その極限を毎回計算するのは大変です．そこで公式にまとめた道具が微分です．

微分を使って速度を求める

まず，微分の定義と，よく使う関数の微分の公式を整えます．

定理数学の道具：微分

定義　関数 $f (t)$ の導関数を

f^{'} (t) = \frac{d f}{d t} = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f (t)}{h}

で定める． $f^{'} (t)$ は $y = f (t)$ のグラフの接線の傾き（瞬間的な変化率）である． $f^{'}$ を求めることを微分するという．

導出（ $t^{n}$ の微分）　定義のとおりに計算する．

定数 $f = c$ ： $\frac{c - c}{h} = 0$ ．よって $f^{'} = 0$ ．
$f = t$ ： $\frac{(t + h) - t}{h} = 1$ ．よって $f^{'} = 1$ ．
$f = t^{2}$ ： $\frac{(t + h)^{2} - t^{2}}{h} = \frac{2 t h + h^{2}}{h} = 2 t + h \to 2 t$ ．
$f = t^{3}$ ： $\frac{(t + h)^{3} - t^{3}}{h} = 3 t^{2} + 3 t h + h^{2} \to 3 t^{2}$ ．
一般の自然数 $n$ ：二項定理より $(t + h)^{n} = t^{n} + n t^{n - 1} h + (h^{2} を含む項)$ ．これを使うと $\frac{(t + h)^{n} - t^{n}}{h} = n t^{n - 1} + (h を含む項) \to n t^{n - 1}$ ．

公式

(t^{n})^{'} = n t^{n - 1}, (c f)^{'} = c f^{'}, (f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}

（ $c$ は定数）．後ろの2つは，極限が定数倍や和でそのまま成り立つことから従う．

上では $n$ を自然数として導いたが， $(t^{n})^{'} = n t^{n - 1}$ は $n$ が負の整数や分数でも（ $t > 0$ で）成り立つ（一般の場合の証明は省く． $n = - 1$ は練習 (3) で確かめる）．たとえば ${(\frac{1}{t})}^{'} = (t^{- 1})^{'} = - \frac{1}{t^{2}}$ ， $(\sqrt{t})^{'} = (t^{1 / 2})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{t}}$ ．

積の微分　 $f (t + h) g (t + h) - f (t) g (t)$ を，間に $f (t) g (t + h)$ を足し引きして

\frac{f (t + h) g (t + h) - f (t) g (t)}{h} = \frac{f (t + h) - f (t)}{h} g (t + h) + f (t) \frac{g (t + h) - g (t)}{h}

と変形する． $h \to 0$ で $g (t + h) \to g (t)$ なので，

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

である．

練習．

$x = 3 t^{2} + 2 t$ の速度 $v = \frac{d x}{d t}$ を求め， $t = 2$ のときの値を求めよ．
$x = (t + 1) (t^{2} - 2 t)$ を，積の微分と，先に展開してからの微分の2通りで計算し，一致を確かめよ．
定義にしたがって $f = \frac{1}{t}$ の導関数を求め， $(t^{n})^{'} = n t^{n - 1}$ の $n = - 1$ の場合と一致することを確かめよ．
次の関数を $t$ で微分せよ．(a) $4 t^{3} - 5 t + 7$ 　(b) $2 \sqrt{t}$ 　(c) $\frac{3}{t^{2}}$ 　(d) $t^{2} (t - 1)^{2}$
位置が $x = 5 t - t^{2} [m]$ の物体について， $t = 1.0 s$ から $1.1 s$ までの平均速度と， $t = 1.0 s$ の瞬間速度を求めて比べよ．

答え：(1) 和と定数倍の公式より $v = 3 \cdot 2 t + 2 \cdot 1 = 6 t + 2$ ． $t = 2$ のとき $v = 14$ ．　(2) 積の微分： $1 \cdot (t^{2} - 2 t) + (t + 1) (2 t - 2) = 3 t^{2} - 2 t - 2$ ．展開： $x = t^{3} - t^{2} - 2 t$ より $x^{'} = 3 t^{2} - 2 t - 2$ ．一致する．　(3) $\frac{1}{h} (\frac{1}{t + h} - \frac{1}{t}) = - \frac{1}{t (t + h)} \to - \frac{1}{t^{2}}$ ． $n = - 1$ の公式 $- t^{- 2}$ と一致する．　(4) (a) $12 t^{2} - 5$ 　(b) $2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}} = \frac{1}{\sqrt{t}}$ 　(c) $3 \cdot (- 2) t^{- 3} = - \frac{6}{t^{3}}$ 　(d) 展開して $t^{4} - 2 t^{3} + t^{2}$ を微分すると $4 t^{3} - 6 t^{2} + 2 t = 2 t (t - 1) (2 t - 1)$ （積の微分でも同じ）．　(5) $x (1.0) = 4.0 m$ ， $x (1.1) = 4.29 m$ より平均速度は $0.29 / 0.1 = 2.9 m s^{- 1}$ ． $v = 5 - 2 t$ より瞬間速度は $3.0 m s^{- 1}$ ．区間を短くすると平均速度は $3.0$ に近づく．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

直線上を動く物体の位置が $x = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t [m]$ （ $t$ は秒）で表される．

**［図：与えられた位置のグラフ］**
問題で与えられたxと時刻tの関係を示す．求める量やその値は記入しない．

速度 $v (t)$ を求め， $t = 0, 2, 4 s$ の値を求めよ．
速度が0になる時刻と，そのときの位置を求めよ．
$t = 0$ から $t = 4 s$ までの平均速度と平均の速さを求めよ．

解答を見る

考え方 位置の式を時間で微分すれば速度である．折返しの位置を調べると，道のりが分かる．

$v = \frac{d x}{d t} = 3 t^{2} - 12 t + 9 = 3 (t - 1) (t - 3) [m s^{- 1}]$ ．したがって $v (0) = 9$ ， $v (2) = 3 \cdot 1 \cdot (- 1) = - 3$ ， $v (4) = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9$ （いずれも $m s^{- 1}$ ）．
$v = 0$ より $t = 1 s$ と $t = 3 s$ ．位置は $x (1) = 1 - 6 + 9 = 4 m$ ， $x (3) = 27 - 54 + 27 = 0 m$ ． $v$ の符号は， $t < 1$ で正， $1 < t < 3$ で負， $t > 3$ で正なので， $t = 1, 3$ で向きを変える．
$x (0) = 0$ ， $x (4) = 64 - 96 + 36 = 4 m$ ．平均速度は $\frac{4 - 0}{4} = 1 m s^{- 1}$ ．

道のりは， $0 \to 4 m$ ， $4 \to 0 m$ ， $0 \to 4 m$ と動いた合計で $4 + 4 + 4 = 12 m$ ．平均の速さは $\frac{12}{4} = 3 m s^{- 1}$ ．

例題 2

オリジナル ★☆☆☆☆

直線上を動く物体の x-t グラフが，次の3本の線分をつないだものである． $t = 0$ で $x = 0$ ， $t = 2 s$ で $x = 6 m$ ， $t = 4 s$ でも $x = 6 m$ ， $t = 8 s$ で $x = - 2 m$ ．

各区間（0〜2 s，2〜4 s，4〜8 s）の速度を求めよ．
物体が原点を通る時刻をすべて求めよ．
0〜8 s の平均速度と平均の速さを求めよ．

**［図：折れ線のx-tグラフ］**
横軸t（0〜8 s），縦軸x（−2〜6 m）のx-tグラフ．(0,0)，(2,6)，(4,6)，(8,−2)を直線で結んだ折れ線で，0〜2 sでは右上がり，2〜4 sでは水平，4〜8 sでは右下がりになる．

解答を見る

考え方 直線の区間では，傾きが速度である．

0〜2 s： $\frac{6 - 0}{2} = 3 m s^{- 1}$ ．2〜4 s：位置が変わらないので $0$ ．4〜8 s： $\frac{- 2 - 6}{4} = - 2 m s^{- 1}$ ．
$t = 0$ と，最後の区間で $x = 6 - 2 (t - 4) = 0$ となる $t = 7 s$ ．
平均速度は $\frac{- 2 - 0}{8} = - 0.25 m s^{- 1}$ ．道のりは $6 + 8 = 14 m$ なので，平均の速さは $\frac{14}{8} = 1.75 m s^{- 1}$ ．

折れ線の角では速度が一瞬で変わっており，接線の傾きは決まらない．これは現実を簡単にした理想化である．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

平面上を動く物体の位置が $r = (2 t, 4 t - t^{2}) [m]$ で表される．

**［図：平面運動の位置］**
位置r=(2t，4t−t²)で与えられる平面運動の軌道と座標軸を示す．速度は描かない．

速度ベクトル $v (t)$ を求めよ．
$t = 1 s$ の速度ベクトル，速さ，向きを求めよ．

解答を見る

考え方 成分ごとに微分する．

$v_{x} = \frac{d (2 t)}{d t} = 2$ ， $v_{y} = \frac{d (4 t - t^{2})}{d t} = 4 - 2 t$ より， $v = (2, 4 - 2 t) m s^{- 1}$ ．
$t = 1$ で $v = (2, 2) m s^{- 1}$ ．速さは $\sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2} \approx 2.8 m s^{- 1}$ ．向きは $x$ 軸から $45^{\circ}$ 上向き．

ポイントここまでのまとめ

導関数 $f^{'} (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f (t)}{h}$ は，グラフの接線の傾きである．位置を微分すれば速度になる．
公式： $(t^{n})^{'} = n t^{n - 1}$ （ $n$ は負の整数や分数でもよい）， $(c f)^{'} = c f^{'}$ ， $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ ， $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ ．
$v$ の符号が変わる時刻（ $v = 0$ ）で向きを変える．道のりは，向きを変える位置で区間を分けて求める．
平面運動の速度ベクトルは，位置の成分をそれぞれ微分して得る．