速度

問い

車のスピードメーターには「60」と出ています．この数字は，いったい何をどう測った量でしょうか．

「60 km/h」というのは，1時間走ればちょうど60 km進むという意味でしょうか．でも運転手はまだ1時間走っていません．ある一瞬の数字は，どうやって決まるのでしょうか．また，「東京から大阪まで，平均の速さは時速80 km」というときの「平均の速さ」とは，どこが違うのでしょうか．

考えてみる

素朴な考えは「速さ＝進んだ距離÷かかった時間」です．これは，ある区間をひとまとめにして見た平均の速さには使えます．しかし，一瞬には距離も時間も測れそうにありません．

そこで，短い時間で考えることにします．スタートから $t\mathrm{s}$ 後の位置が $x=2t^2\mathrm{m}$ で表される物体で，$t=1\mathrm{s}$ の速さを知りたいとします．$t=1$ から $t=1+h$ までの平均の速さは

です．$h=1,0.1,0.01$ なら，順に $6,4.2,4.02\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ です．区間を短くするほど，平均の値は $4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ に近づいていきます．この「限りなく近づく値」を，その瞬間の速さと定義するのが自然です．

スピードメーターが示そうとするのも，この極限の値です．一方「平均の速さ」は，全体の距離を全体の時間で割った値で，途中の速さの変化はならされてしまいます．

平均速度と瞬間速度

直線上の運動を考えます．時刻 $t_1$ の位置を $x_1$，時刻 $t_2$ の位置を $x_2$ とします．

平均速度の分子は変位で，道のりではありません．$x$ 軸の負の向きに進んでいれば $v<0$ です．速度の符号は向きを表します．

単位の感覚もつかんでおきましょう．$1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=3.6\mathrm{km}/\mathrm{h}$ なので，人が歩く速さ（時速5 km 弱）は約 $1.4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，時速60 km の車は約 $17\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ です．

速度ベクトル

平面や空間の運動では，位置ベクトル $\mathit{r}$ の変化を同じように考えます．時間 $\mathrm{\Delta }t$ の間の変位 $\mathrm{\Delta }\mathit{r}$ を $\mathrm{\Delta }t$ で割ると，平均の速度ベクトルになります．その極限が瞬間の速度ベクトルです．

$\mathrm{\Delta }t\to 0$ とすると，軌道上の2点を結ぶ矢印 $\mathrm{\Delta }\mathit{r}$ の向きは，軌道の接線の向きに近づきます．したがって速度ベクトルは，いつも軌道の接線方向を向きます．

速さと速度の違い

速度はベクトル（直線上では符号つきの数）で，速さはその大きさです．家から店まで行って同じ道で戻ると，変位は $0$ なので平均速度も $0$ です．ところが，平均の速さは道のり÷時間で，$0$ ではありません．

x-tグラフの傾き

位置 $x$ を縦軸，時刻 $t$ を横軸にしたグラフが x-t グラフです．2点 $(t_1,x_1)$，$(t_2,x_2)$ を結ぶ線分の傾きが，平均速度 $\mathrm{\Delta }x/\mathrm{\Delta }t$ です．点を近づけていくと，この線分は，その点での接線に近づきます．つまり，

• 瞬間速度は，x-tグラフの接線の傾き

• 右上がりなら $v>0$，右下がりなら $v<0$，山や谷の頂点では $v=0$

• 傾きが急なところほど速さが大きい

最初の問いの答えをまとめます．スピードメーターの数字は，ごく短い時間の変位を時間で割った値の極限の大きさで，x-tグラフの接線の傾きの大きさに当たります．「平均の速さ」は区間全体の道のり÷時間で，途中の速さの変化は見えません．