運動を記述する

位置とベクトルの演習

著者：柚木芹香

位置・変位・ベクトルの成分計算を練習します．まず自分で解き，そのあとで解答と見比べてください．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

駅Aを原点，東を $x$ 軸，北を $y$ 軸の正の向きとする地図（単位 km）で，図書館Lは $(3, 1)$ ，公園Pは $(- 1, 4)$ ，郵便局Qは $(1, - 2)$ にある．

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$Δ r = r_{P} - r_{L} = (- 1 - 3, 4 - 1) km = (- 4, 3) km$ ．大きさは $\sqrt{16 + 9} = 5 km$ ．
新しい原点がQなので，各点の新しい位置ベクトルは元の位置ベクトルから $r_{Q} = (1, - 2)$ を引いて得られる．

r_{L}^{'} = (3 - 1, 1 + 2) = (2, 3) km, r_{P}^{'} = (- 1 - 1, 4 + 2) = (- 2, 6) km

LからPへの変位は $r_{P}^{'} - r_{L}^{'} = (- 4, 3) km$ で，(1) と一致する．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

次のベクトルの成分を求めよ．ただし，水平右向きを $x$ ，鉛直上向きを $y$ の正の向きとする（(3) だけは東を $x$ ，北を $y$ とする）．

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$v = (20 \cos 30^{\circ}, 20 \sin 30^{\circ}) m s^{- 1} = (10 \sqrt{3}, 10) m s^{- 1} \approx (17, 10) m s^{- 1}$ ．
大きさは $\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ ， $\tan θ = 5 / 12$ ．
北西は東から反時計回りに $135^{\circ}$ の向きなので

v = (6.0 \cos 135^{\circ}, 6.0 \sin 135^{\circ}) m s^{- 1} = (- 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}) m s^{- 1} \approx (- 4.2, 4.2) m s^{- 1}

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

三角形ABCで，辺BCの中点をMとし，原点Oに対する各点の位置ベクトルを $a, b, c$ （Mは $m$ ）とする．

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g = a + \frac{2}{3} (m - a) = \frac{a + 2 m}{3} = \frac{a + b + c}{3}

$g$ の式は $a, b, c$ について対称である．B から出る中線についても同じ手順で $2 : 1$ の内分点を求めると，同じ $\frac{a + b + c}{3}$ になる．したがって3本の中線は同じ点Gを通り，Gは各中線を頂点側から $2 : 1$ に内分する．この点が重心である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

原点Oから点Pへのベクトルを $a = (1, 2, 2)$ ，点Qへのベクトルを $b = (2, - 3, 6)$ とする．

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$| a | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ ， $| b | = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ ， $a \cdot b = 2 - 6 + 12 = 8$ ．したがって

\cos ∠ POQ = \frac{a \cdot b}{| a | | b |} = \frac{8}{21} \approx 0.381

で，角はおよそ ${67.6}^{\circ}$ ．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

平行四辺形で，隣り合う2辺を表すベクトルを $a$ ， $b$ とする．2本の対角線は $a + b$ と $a - b$ で表される．

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{| a + b |}^{2} = {| a |}^{2} + 2 a \cdot b + {| b |}^{2}, {| a - b |}^{2} = {| a |}^{2} - 2 a \cdot b + {| b |}^{2}

2式を足すと $a \cdot b$ の項が消えて， $2 ({| a |}^{2} + {| b |}^{2})$ になる．これは「平行四辺形の対角線の2乗の和は，4辺の2乗の和に等しい」という関係である．

$| a + b | = | a - b |$ なら2乗も等しいので，上の展開から $2 a \cdot b = - 2 a \cdot b$ ，すなわち $a \cdot b = 0$ ． $a ⟂ b$ なので，隣り合う辺が直角になり，この平行四辺形は長方形である．逆に長方形なら $a \cdot b = 0$ で対角線の長さは等しい．

ポイント教える人へ