運動を記述する

ベクトルの道具

著者：柚木芹香

前の節で，位置と変位をベクトルで表しました．ここでは，ベクトルを成分で計算する道具を整え，例題で使います．

定理数学の道具：ベクトルの成分計算と内積

定義　ベクトル $A$ の $x$ 成分を $A_{x}$ ， $y$ 成分を $A_{y}$ として $A = (A_{x}, A_{y})$ と書く．空間ではさらに $A_{z}$ を加える．

成分での計算　 $A = (A_{x}, A_{y})$ ， $B = (B_{x}, B_{y})$ ，実数 $k$ について

A \pm B = (A_{x} \pm B_{x}, A_{y} \pm B_{y}), k A = (k A_{x}, k A_{y})

和と差は，同じ成分どうしを足し引きするだけである．

大きさ　三平方の定理より

A = | A | = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} (空間では \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}})

向き　 $x$ 軸の正の向きから反時計回りに測った角を $θ$ とすると，

A_{x} = A \cos θ, A_{y} = A \sin θ, \tan θ = \frac{A_{y}}{A_{x}}

（ $\tan θ$ から角を決めるときは，成分の符号で象限を確かめる．）

単位ベクトル　大きさ1のベクトル． $x$ ， $y$ 軸の正の向きの単位ベクトルを $e_{x} = (1, 0)$ ， $e_{y} = (0, 1)$ と書くと， $A = A_{x} e_{x} + A_{y} e_{y}$ である．また $A \neq 0$ と同じ向きの単位ベクトルは $A / A$ である．

内積（スカラー積）の定義　成分で

A \cdot B = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} (空間では + A_{z} B_{z})

と定める．結果はベクトルではなくただの数である．

導出：内積と角　 $A - B$ の大きさの2乗を成分で展開すると

{| A - B |}^{2} = (A_{x} - B_{x})^{2} + (A_{y} - B_{y})^{2} = {| A |}^{2} + {| B |}^{2} - 2 A \cdot B

一方， $A$ ， $B$ のなす角を $θ$ とすると，この3辺 $| A |$ ， $| B |$ ， $| A - B |$ の三角形に余弦定理を使って

{| A - B |}^{2} = {| A |}^{2} + {| B |}^{2} - 2 | A | | B | \cos θ

2式を比べて

A \cdot B = | A | | B | \cos θ

したがって， $A ⟂ B$ （ $A, B \neq 0$ ）と $A \cdot B = 0$ は同値である．

練習．

$A = (1, 2)$ ， $B = (3, - 1)$ のとき， $A + 2 B$ ， $| A |$ ， $A \cdot B$ を求めよ．また，なす角 $θ$ の余弦を求めよ．
$A = (2, k)$ と $B = (3, - 1)$ が垂直になるように $k$ を定めよ．
$A = (3, 4)$ と同じ向きの単位ベクトルを求めよ．また，大きさ $10$ ， $x$ 軸から反時計回りに $150^{\circ}$ の向きのベクトルの成分を求めよ．
空間のベクトル $A = (1, 2, 2)$ ， $B = (2, - 1, 2)$ について， $| A |$ ， $A \cdot B$ ，なす角 $θ$ を求めよ．
$A = (2, 1)$ ， $B = (- 1, 3)$ のとき， $| A - B |$ を，成分から直接と， ${| A |}^{2} + {| B |}^{2} - 2 A \cdot B$ からの2通りで求めよ．

答え：(1) $A + 2 B = (7, 0)$ ， $| A | = \sqrt{5}$ ， $A \cdot B = 3 - 2 = 1$ ． $| B | = \sqrt{10}$ なので $\cos θ = 1 / (\sqrt{5} \sqrt{10}) = 1 / (5 \sqrt{2}) \approx 0.14$ （ $θ \approx 82^{\circ}$ ）．　(2) $A \cdot B = 6 - k = 0$ より $k = 6$ ．　(3) $| A | = 5$ なので $(0.6, 0.8)$ ． $(10 \cos 150^{\circ}, 10 \sin 150^{\circ}) = (- 5 \sqrt{3}, 5) \approx (- 8.7, 5)$ ．　(4) $| A | = 3$ ， $A \cdot B = 2 - 2 + 4 = 4$ ， $| B | = 3$ なので $\cos θ = \frac{4}{9} \approx 0.44$ ， $θ \approx 64^{\circ}$ ．　(5) $A - B = (3, - 2)$ より $\sqrt{13}$ ．別の方法では $5 + 10 - 2 \times 1 = 13$ で，同じく $\sqrt{13} \approx 3.6$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

ドローンが出発点Oから，東から北へ $30^{\circ}$ の向きに $80 m$ 飛び，次に西へ $50 m$ 飛んだ．出発点から見た最終位置の変位の大きさと向きを求めよ．東を $x$ 軸，北を $y$ 軸の正の向きとする．

**［図：ドローンの二段階の移動］**
原点から東より北へ30°の向きに80 m，次に西へ50 m進む経路を示す．

解答を見る

考え方 2回の移動をそれぞれ成分で書き，足せば合成した変位が成分で得られる．

1回目の変位は

d_{1} = (80 \cos 30^{\circ}, 80 \sin 30^{\circ}) m = (40 \sqrt{3}, 40) m \approx (69.3, 40) m

2回目は西向きなので $d_{2} = (- 50, 0) m$ ．したがって合成した変位は

d = d_{1} + d_{2} = (40 \sqrt{3} - 50, 40) m \approx (19.3, 40) m

大きさは

d = \sqrt{{19.3}^{2} + 40^{2}} m \approx 44 m

向きは， $x$ 軸（東）から北へ測った角 $θ$ について $\tan θ = 40 / 19.3 \approx 2.07$ より $θ \approx 64^{\circ}$ ．

答え：東から北へ約 $64^{\circ}$ の向きに約 $44 m$ ．なお，道のりは $80 + 50 = 130 m$ であり，変位の大きさより大きい．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

座標が $x$ 軸東向き， $y$ 軸北向きの地図上で，点Pの位置ベクトルが $r_{P} = (1, 2) km$ ，点Qの位置ベクトルが $r_{Q} = (4, 6) km$ である．

**［図：地図上の二点］**
東向きをx，北向きをyとしてP(1，2)とQ(4，6)を示す．

PからQへの変位 $Δ r$ の成分，大きさ，および向きの単位ベクトルを求めよ．
原点を点Pに移した座標系（軸の向きは同じ）で，Qの位置ベクトルを求めよ．(1) の変位と比べて，何がいえるか．

解答を見る

考え方 変位は「終点の位置ベクトル−始点の位置ベクトル」．原点を替えても，この差は変わらないはずである．

Δ r = r_{Q} - r_{P} = (4 - 1, 6 - 2) km = (3, 4) km

大きさは $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 km$ ．向きの単位ベクトルは $Δ r / 5 = (3 / 5, 4 / 5) = (0.6, 0.8)$ ．これは東から北へ約 $53^{\circ}$ の向きである．

新しい座標系の原点はPなので，Qの新しい位置ベクトルは PからQへのベクトルそのもので $(3, 4) km$ ．Pの新しい位置ベクトルは $0$ ．

比べると，Qの位置ベクトル（座標）は原点の取り方で $(4, 6)$ から $(3, 4)$ に変わったが，PからQへの変位は $(3, 4) km$ のまま変わっていない．位置の成分は座標系に依存し，変位は依存しない．

ポイントここまでのまとめ

和・差・実数倍は成分ごとに計算する．大きさは $A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}}$ ，向きは $A_{x} = A \cos θ$ ， $A_{y} = A \sin θ$ ．
$A \neq 0$ と同じ向きの単位ベクトルは $A / A$ ．零ベクトルには向きがない．
内積 $A \cdot B = A_{x} B_{x} + A_{y} B_{y} = | A | | B | \cos θ$ はただの数で， $A, B \neq 0$ のとき，0なら垂直である．なす角を扱うときも両方が零ベクトルでないとする．
2回の移動の合成は，それぞれを成分に分けて足す．変位は「終点−始点」の成分で，原点の取り方によらない．