確率振幅から組み立てる量子力学（発展）

確率振幅の積と和の演習

著者：柚木芹香

連続する過程では振幅を掛け，区別できない経路ではその積を足してください．損失がある場合は，何を条件にした確率かも確かめましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

粒子源の状態を $| s ⟩$ ，中間経路を $| 1 ⟩, | 2 ⟩$ ，最終出力を $D$ とする．振幅は $⟨ 1 | s ⟩ = \sqrt{3} / 2$ ， $⟨ 2 | s ⟩ = i / 2$ ， $⟨ D | 1 ⟩ = 1 / 2$ ， $⟨ D | 2 ⟩ = i \sqrt{3} / 2$ である．

$⟨ D | s ⟩$ と出力 $D$ の確率を求めよ．
中間経路の完全な記録を残すと，確率はいくらになるか．経路1をたどる確率と，経路1を経て $D$ に達する確率も区別して求めよ．

**［図：2段階の接続と区間の振幅］**
粒子源sから中間経路1，2を経てDへ至る．sから1は√3/2，sから2はi/2，1からDは1/2，2からDはi√3/2の振幅を持つ．

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考え方
1本の経路の寄与は2区間の振幅の積であり，記録のない場合はその積どうしが干渉する．

$⟨ D | s ⟩ = ⟨ D | 1 ⟩ ⟨ 1 | s ⟩ + ⟨ D | 2 ⟩ ⟨ 2 | s ⟩ = \sqrt{3} / 4 + i^{2} \sqrt{3} / 4 = 0$ ．したがって $P_{D} = 0$ ．確率の積を足しても，この打ち消しを表せない．
記録がある場合は $P_{D} = {| \sqrt{3} / 4 |}^{2} + {| - \sqrt{3} / 4 |}^{2} = 3 / 8$ ．経路1をたどる確率は $3 / 4$ ，経路1を経て $D$ に達する確率は $(3 / 4) (1 / 4) = 3 / 16$ である．位相を含む振幅は無次元であり，求めた確率も無次元になる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

粒子を等しい振幅 $1 / \sqrt{2}$ で2経路に分ける．経路1はそのまま進み，経路2は振幅を $g e^{i δ}$ 倍する透過部を通る． $0 \leq g \leq 1$ とし，吸収された粒子は戻らない．再結合部から出力 $D, E$ へ至る振幅は，経路1から順に $1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2}$ ，経路2から順に $1 / \sqrt{2}, - 1 / \sqrt{2}$ である．透過した粒子に経路の記録は残らない．

$P_{D}, P_{E}$ と吸収確率を求め，和を確かめよ．
$g = 1 / 2, δ = 0$ の場合，透過した粒子だけを選んだときの $D$ の確率を求めよ．また， $δ$ を変えた際に $P_{D}$ が完全に0になる $g$ を求めよ．

**［図：透過部と吸収先を持つ2経路］**
等しい振幅1/√2で分岐した経路2に透過係数g e^{iδ}の透過部を置く．吸収先，再結合部，出力D，Eを示す．

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考え方
入射粒子あたりの確率を先に求め，透過を条件とする場合だけ透過確率で割る．

$⟨ D | s ⟩ = (1 + g e^{i δ}) / 2$ ， $⟨ E | s ⟩ = (1 - g e^{i δ}) / 2$ より

P_{D} = \frac{1 + g^{2} + 2 g \cos δ}{4}, P_{E} = \frac{1 + g^{2} - 2 g \cos δ}{4} ．

透過確率は $(1 + g^{2}) / 2$ ，吸収確率は $(1 - g^{2}) / 2$ なので和は1である．

$P_{D} = 9 / 16$ ，透過確率は $5 / 8$ より，条件つき確率は $(9 / 16) / (5 / 8) = 9 / 10$ ．最小値は $δ = π$ で $(1 - g)^{2} / 4$ だから，0になるのは $g = 1$ だけである．位相調整だけでは振幅の大きさの不一致を補えない． $g = 0$ では出力は各 $1 / 4$ ，吸収は $1 / 2$ となり，片経路だけの結果と一致する．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

等間隔の散乱中心 $N$ 個を含む試料を比較する．ある検出方向では，記録を残さない散乱は全中心から同位相となる．各中心で別々の直交する内部記録が残る散乱もある．後者の記録は読み出さない．入射粒子数と検出条件をそろえて，次の計数を得た．

$N$	記録なし	中心ごとの記録あり
$10$	$240$	$30$
$20$	$960$	$60$
$30$	$2160$	$90$

各列を $A N^{2}$ ， $B N$ のどちらで表せるか決め，係数を求めよ． $N = 25$ の期待計数も求めよ．
記録なしの列だけを $N^{2}$ で割って一定になる理由と，記録ありで振幅を足せない理由を述べよ．

**［図：散乱中心と中心ごとの記録］**
等間隔に並ぶN個の散乱中心について，指定方向で同位相となる記録なしの散乱と，中心ごとに異なる内部記録が残る散乱を並べる．

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考え方
同位相の $N$ 個の振幅は $N$ 倍になるが，区別できる $N$ 個の過程の確率は $N$ 倍になる．

記録なしは $A = 240 / 10^{2} = 2.4$ ，記録ありは $B = 30 / 10 = 3.0$ ．他の2行にも同じ係数が当てはまる． $N = 25$ では順に $2.4 \times 25^{2} = 1500$ ， $3.0 \times 25 = 75$ である．
各中心の振幅を $ϕ$ とすれば，記録なしは ${| N ϕ |}^{2} = N^{2} {| ϕ |}^{2}$ ，記録ありは $\sum_{j = 1}^{N} {| ϕ |}^{2} = N {| ϕ |}^{2}$ である．記録を読まなくても最終状態が異なるので干渉しない． $N^{2}$ 則は指定方向の狭い検出領域での弱い散乱の模型であり，全方向の確率を $N^{2}$ 倍する主張ではない．多重散乱を無視するには，全散乱確率が1より十分小さい必要がある．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

一列の散乱中心 $N = M q$ 個を，隣り合う $q$ 個ずつの $M$ 組に分ける．中心番号は $j = 0, 1, \dots, N - 1$ ，検出領域への各振幅は $ϕ e^{i j α}$ である．記録には散乱した組だけが残り，組の中の中心は区別できない．

検出確率を $M, q, ϕ, α$ で表し， $α = 0$ の値も求めよ．
$N = 12, q = 3$ とする．全く記録のない場合と比較し， $α = 0$ および $α = π / 6$ での確率を求めよ．

**［図：散乱中心の組と組番号の記録］**
N＝Mq個の散乱中心を隣接するq個ずつM組に分ける．組の番号だけを記録し，隣り合う中心の位相差αを示す．

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考え方
組の内部では振幅を足し，組どうしは確率を足す．組の先頭までの位相は絶対値の2乗では消える．

組 $r$ の振幅は $ϕ e^{i r q α} \sum_{k = 0}^{q - 1} e^{i k α}$ ． $α$ が $2 π$ の整数倍でないとき，和は $(1 - e^{i q α}) / (1 - e^{i α})$ なので

P = M {| ϕ |}^{2} \frac{\sin^{2} (q α / 2)}{\sin^{2} (α / 2)} ．

$α = 0$ では直接足して $P = M q^{2} {| ϕ |}^{2} = N q {| ϕ |}^{2}$ ．

$M = 4$ なので同位相で $P = 36 {| ϕ |}^{2}$ ，記録なしでは $144 {| ϕ |}^{2}$ ． $α = π / 6$ では組の和が $1 + e^{i π / 6} + e^{i π / 3} = e^{i π / 6} (1 + \sqrt{3})$ より， $P = 4 (4 + 2 \sqrt{3}) {| ϕ |}^{2}$ ．記録なしでは $e^{i 12 α} = 1$ で幾何級数の和が0だから $P = 0$ ．組間の打ち消しが失われる．検出領域への確率として扱うには $N^{2} {| ϕ |}^{2}$ が1より十分小さい範囲を選ぶ．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

3経路の振幅は検出領域 $D$ に対して $ϕ$ ， $ϕ e^{i α}$ ， $ϕ e^{2 i α}$ で， $ϕ \neq 0$ とする．経路の記録はない．検出確率を0にした後，第3経路だけを遮断する場合と，その経路の完全な記録を残す場合を比較する．操作は他経路の振幅を変えない．

$0 \leq α < 2 π$ の範囲で初めの検出確率が0となる $α$ をすべて求めよ．
求めた位相で2つの操作後の検出確率をそれぞれ求め，なぜ同じにならないか説明せよ．入射粒子あたりの確率で比較すること．

**［図：3経路と第3経路の操作］**
3経路が共通の検出領域Dへ至る．位相は順に0，α，2αで，第3経路に遮断板または記録装置を置く．

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考え方
遮断は振幅をなくし，記録は他経路との干渉をなくす．

全振幅は $ϕ e^{i α} (e^{- i α} + 1 + e^{i α}) = ϕ e^{i α} (1 + 2 \cos α)$ ． $\cos α = - 1 / 2$ より $α = 2 π / 3, 4 π / 3$ ．
遮断後は $P_{block} = {| ϕ |}^{2} {| 1 + e^{i α} |}^{2} = {| ϕ |}^{2} (2 + 2 \cos α) = {| ϕ |}^{2}$ ．記録後は経路1，2の和と経路3の確率を足すので $P_{record} = {| ϕ |}^{2} + {| ϕ e^{2 i α} |}^{2} = 2 {| ϕ |}^{2}$ ．記録の場合には第3経路の粒子も検出されるため，遮断の2倍になる．全経路の最大値 $9 {| ϕ |}^{2}$ が1以下になる振幅なら確率として矛盾しない．

ポイント教える人へ

ブラケットの右側を出発状態，左側を到着状態として読み取らせる．
吸収がある場合，入射粒子あたりと透過粒子あたりの確率を区別させる．
記録が区別する範囲を囲ませ，囲みの内外で足す量を説明させる．
指定方向の散乱強度と，全散乱確率の規格化を混同させない．