確率振幅から組み立てる量子力学（発展）

確率振幅の時間発展と物質波の演習

著者：柚木芹香

定常状態の位相から測定確率を求めましょう． $| +_{x} ⟩ = (| + ⟩ + | - ⟩) / \sqrt{2}$ とし，位相の変化と波束の移動を区別してください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

一様な磁場の中で，スピンの基底 $| + ⟩, | - ⟩$ のエネルギーは $E_{0} - Δ / 2, E_{0} + Δ / 2$ で， $Δ > 0$ です．時刻0に $| ψ ⟩ = (\sqrt{3} | + ⟩ + | - ⟩) / 2$ を準備します．

時刻 $t$ の状態と各成分の確率を求めよ．
$| +_{x} ⟩$ にある確率と周期を求めよ．両エネルギーに定数 $W$ を加えると結果は変わるか．

**［図：初期状態と磁場内の時間と測定軸］**
時刻0の状態(√3|+⟩＋|−⟩)/2を一様磁場内で時間tだけ発展させる．磁場内の与えられたエネルギーと，zまたはxを選ぶ分析装置を示す．

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考え方 別の基底で測ると2成分が干渉する．

状態は

| ψ (t) ⟩ = \frac{e^{- i E_{0} t / ℏ}}{2} (\sqrt{3} e^{i Δ t / (2 ℏ)} | + ⟩ + e^{- i Δ t / (2 ℏ)} | - ⟩)

位相の絶対値は1で， $P_{+} = 3 / 4, P_{-} = 1 / 4$ である．

$a = Δ t / (2 ℏ)$ とおくと振幅は $e^{- i E_{0} t / ℏ} (\sqrt{3} e^{i a} + e^{- i a}) / (2 \sqrt{2})$ ．2乗から $P_{+ x} = 1 / 2 + (\sqrt{3} / 4) \cos (Δ t / ℏ)$ ，周期は $T = 2 π ℏ / Δ$ である． $W$ は全体の位相だけを変える． $Δ \to 0$ では時間変化が消える．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

電子を静止から加速し，運動エネルギーを $K = 0.60 MeV$ にします．静止エネルギーは $m c^{2} = 0.51 MeV$ ， $h c = 1.24 MeV pm$ とします． $E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}, λ = h / p$ を使います．

波長を式と数値で求めよ．
非相対論の式 $p = \sqrt{2 m K}$ による波長の過大評価の割合と近似条件を求めよ．

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考え方 全エネルギーから運動量を求める．

$E = m c^{2} + K$ より $p^{2} c^{2} = {(m c^{2} + K)}^{2} - m^{2} c^{4} = K^{2} + 2 K m c^{2}$ ．したがって $λ = h c / \sqrt{K (K + 2 m c^{2})}$ ． $p c = \sqrt{0.60 \times 1.62} MeV \approx 0.986 MeV$ なので $λ \approx 1.26 pm$ ，2桁では $1.3 pm$ ．
非相対論では $λ_{nr} = h c / \sqrt{2 m c^{2} K} \approx 1.59 pm$ ．比は $λ_{nr} / λ = \sqrt{1 + K / (2 m c^{2})} \approx 1.260$ で，約26 %大きい．近似には $1 ≫ K / (m c^{2})$ が必要だが，比は $1.18$ である． $K \to 0$ では2つの波長の比は1に近づく．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

$| +_{x} ⟩$ の粒子を $z$ 方向の磁場に置き， $+_{x}$ で見つかる確率の振動数 $f$ を測りました．設定磁場 $B$ に一定の残留磁場 $B_{b}$ が同方向に加わります．エネルギーは $E_{+} = - m_{0} (B + B_{b}), E_{-} = m_{0} (B + B_{b})$ です． $m_{0} > 0$ は磁気モーメントです． $h = 6.63 \times 10^{- 34} J s$ ， $ℏ = h / (2 π)$ ， $B + B_{b} > 0$ とします．

$B$ （ $T$ ）	$f$ （ $Hz$ ）
0.0100	$3.00 \times 10^{4}$
0.0200	$5.00 \times 10^{4}$
0.0300	$7.00 \times 10^{4}$

振幅の時間発展から $P_{+ x}$ と $f$ を求めよ．
表から $m_{0}, B_{b}$ を推定し，中央の値も確かめよ．

**［図：残留磁場を含む時間発展の配置］**
x方向の正に準備した状態を，z方向の磁場B＋B_bの中で時間tだけ発展させ，再びx方向を分析する．残留磁場と磁気モーメントの推定値は示さない．

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考え方 相対位相を計数の周期に結びつけ，直線化する．

$b = B + B_{b}$ とおく．状態は $(e^{i m_{0} b t / ℏ} | + ⟩ + e^{- i m_{0} b t / ℏ} | - ⟩) / \sqrt{2}$ ． $+_{x}$ への振幅は $\cos (m_{0} b t / ℏ)$ だから $P_{+ x} = [1 + \cos (2 m_{0} b t / ℏ)] / 2$ ， $f = 2 m_{0} b / h$ である．
$f = α B + β$ とすれば， $α = 4.00 \times 10^{4} / 0.0200 = 2.00 \times 10^{6} Hz T^{- 1}$ ， $β = 1.00 \times 10^{4} Hz$ ．したがって $m_{0} = h α / 2 = 6.63 \times 10^{- 28} J T^{- 1}$ ， $B_{b} = β / α = 5.00 \times 10^{- 3} T$ ．中央の値も直線上にある． $m_{0} B / h$ の次元は振動数である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

非相対論的な粒子ビームが， $x$ だけに依存するポテンシャルエネルギー $U$ の境界へ斜めに入射します．質量は $m$ です．領域1は $U_{1} = 0$ ，領域2は $U_{2} = 3.0 eV$ ，入射の運動エネルギーは $K_{1} = 12.0 eV$ です．角 $θ_{1}, θ_{2}$ は法線から測ります．幅 $d$ の移行領域で $U$ は $U_{1}$ から $U_{2}$ へ単調に増加し，波長に比べ滑らかとします．位相は $(p_{x} x + p_{y} y - E t) / ℏ$ ， $E = p^{2} / (2 m) + U$ です．

位相から屈折の関係を導き， $θ_{1} = π / 6$ の $θ_{2}$ を求めよ．
領域2へ進める入射角の条件を求めよ．

**［図：滑らかな移行領域への斜め入射］**
領域1のU₁＝0，領域2のU₂＝3.0 eVと幅dの移行領域を示す．法線はx方向，境界はy方向で，入射角θ₁＝π/6は法線から測る．屈折後の線は描かない．

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考え方 時間方向と境界に平行な方向の位相をつなぐ．

$E_{1} = E_{2}$ より $K_{2} = 12.0 - 3.0 = 9.0 eV$ ．任意の $y$ で位相がつながるには $p_{y 1} = p_{y 2}$ ，すなわち $p_{1} \sin θ_{1} = p_{2} \sin θ_{2}$ が必要である． $p_{2} / p_{1} = \sqrt{K_{2} / K_{1}} = \sqrt{3} / 2$ なので $\sin θ_{2} = 1 / \sqrt{3}$ ， $θ_{2} \approx 35^{\circ}$ ．高い $U$ の側で法線から遠ざかる．
$p_{x 2}^{2} = p_{2}^{2} - p_{1}^{2} \sin^{2} θ_{1} \geq 0$ より $0 \leq θ_{1} \leq π / 3$ ．上端では法線速度が0なので，領域2へ進むには $θ_{1} < π / 3$ が必要である．軌道近似には，法線方向の波長 $h / | p_{x} |$ と $d$ の比が十分小さいことが必要で， $p_{x} = 0$ の近傍では破れる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子の波束A，Bを，同時に同じ位置から正方向へ放ちます．中心運動量は $p_{A} = m c, p_{B} = 2 m c$ です．分散関係 $E = \sqrt{m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}}$ ， $E = ℏ ω, p = ℏ k$ ，群速度 $v_{g} = \frac{d ω}{d k}$ を用います．初期の空間幅による時刻の幅は無視します．

距離 $L$ の検出器への到着時刻の差を求め， $L = 30 m, c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ で評価せよ．
Aの運動量成分が $p_{A} \pm δ p$ にあるとします． $ϵ = δ p / p_{A}$ として，両端の到着時刻の差を1次まで求めよ． $ϵ = 0.020$ で(1)の差と比べよ．

**［図：波束の中心運動量とAの運動量幅］**
同時に同じ位置から放つ波束A，Bの中心運動量mc，2mcと距離Lを示す．別枠にAの運動量成分p_A±δpを示す．到着時刻と群速度の値は描かない．

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考え方 時刻の幅には $L / v_{g}$ の微分を使う．

$v_{g} = \frac{d E}{d p} = p c^{2} / E$ なので $v_{A} = c / \sqrt{2}, v_{B} = 2 c / \sqrt{5}$ ． $t_{A} = \sqrt{2} L / c, t_{B} = \sqrt{5} L / (2 c)$ だから差は $(\sqrt{2} - \sqrt{5} / 2) L / c \approx 3.0 \times 10^{- 8} s$ ．Bの方が早く着く．
$t (p) = L E / (p c^{2})$ を微分すると $\frac{d t}{d p} = - L m^{2} c^{2} / (E p^{2})$ ． $p = m c$ で $\frac{d t}{d p} = - L / (\sqrt{2} m c^{2})$ だから，両端の時刻差は $2 | \frac{d t}{d p} | δ p = \sqrt{2} ϵ L / c \approx 2.8 \times 10^{- 9} s$ ．中心間の差の約 $0.095$ 倍である．近似には $1 ≫ ϵ$ が必要で，初期空間幅の影響は別に加わる． $p \to \infty$ で $v_{g} \to c$ となる．

ポイント教える人へ

別の基底で確率が変わる理由を問います．
近似条件を無次元量で述べさせます．
切片と傾きの物理的意味を確かめます．
進行方向と到着時刻を，位相と群速度から説明させます．