回転と剛体

角運動量とトルク

著者：柚木芹香

問い

氷の上でスケーターが回っています．最初は両腕を大きく広げてゆっくり回り，やがて腕を体に引き寄せると，回転がぐっと速くなります．腕を広げれば，また遅くなります．氷との摩擦はほとんど無く，誰も背中を押していません．外から力を加えていないのに，回る速さが変わるのはなぜでしょうか．

考えてみる

スケーターの代わりに，単純な装置で考えます．なめらかな水平の板に穴をあけ，板の上で円運動する小球の糸を，穴から下へ出して手で持ちます．糸をゆっくり引いて半径を縮めると，小球は速く回り出します．

運動量もエネルギーも，この場面では保存しません．糸は小球に力を及ぼすので，運動量は保存しません．糸を引く手は小球に仕事をするので，エネルギーも保存しません．ところが，糸の力は常に穴の方向を向いています．小球を回す向き（接線方向）の力は，どこにもありません．だから「回す勢い」のようなものは変わらない，と見当をつけたくなります．その勢いが何かを，運動方程式から探します．

平面上で，質点（質量 $m$ ）が位置 $(x, y)$ ，運動量 $(p_{x}, p_{y})$ にあるとして，次の量を作ります．

L = x p_{y} - y p_{x}

時間で微分すると

\frac{d L}{d t} = \dot{x} p_{y} - \dot{y} p_{x} + x {\dot{p}}_{y} - y {\dot{p}}_{x}

です．最初の2項は $m (\dot{x} \dot{y} - \dot{y} \dot{x}) = 0$ になって消えます．残りは運動方程式 ${\dot{p}}_{x} = F_{x}$ ， ${\dot{p}}_{y} = F_{y}$ で書き換えられて

\frac{d L}{d t} = x F_{y} - y F_{x}

です．右辺は，位置と力だけで決まります．力が $r$ と同じ向き（または逆向き）なら， $F_{x} : F_{y} = x : y$ なので右辺は0です．つまり $L$ は変わりません．

角運動量とトルク

$L$ は，ベクトル $r$ と $p$ から作る外積の z 成分です．外積は次の節で正確に定義します．ここでは結果だけを使います．

定義角運動量

原点 O から見た質点の位置を $r$ ，運動量を $p = m v$ として

L = r \times p

を O のまわりの角運動量という．単位は $kg m^{2} s^{- 1}$ ．平面運動では向きは紙面に垂直で，反時計回りを正とすると $L = x p_{y} - y p_{x} = r p_{⟂}$ （ $p_{⟂}$ は $p$ の $r$ に垂直な成分）．

定義トルク

位置 $r$ にある質点に力 $F$ が働くとき

τ = r \times F

を O のまわりのトルクという．単位は $N m$ ．平面では $τ = x F_{y} - y F_{x} = r F_{⟂}$ （反時計回りを正）．

**［図：位置と運動量の外積］**
原点 O から質点までの位置ベクトル \vec{r} と，その質点の運動量 \vec{p} を平面上に描く．\vec{p} を \vec{r} に平行な成分と垂直な成分 p_{\perp} に分け，\vec{r}\times\vec{p} が紙面から手前を向くことを，右ねじの回転の向きとともに示す．

さきほどの計算は，ベクトルの形で次のように書けます．

法則角運動量の変化とトルク

\frac{d L}{d t} = τ

O のまわりの角運動量の時間変化の割合は，O のまわりのトルクに等しい．

並進の $\frac{d p}{d t} = F$ で，運動量を角運動量に，力をトルクに置き換えた形です．

トルクが0なら，角運動量は保存します．その代表が中心力です．中心力とは，常に O を向いた（または O から遠ざかる向きの）力のことで， $r ∥ F$ より $τ = 0$ です．

糸で引かれる小球は中心力だけを受けるので， $L = m r v$ （ $v$ は接線方向の速さ）が一定です．半径 $0.60 m$ ，速さ $1.0 m s^{- 1}$ で回る小球の糸を引いて，半径を $0.20 m$ にすると， $r v$ が一定なので速さは3倍の $3.0 m s^{- 1}$ です．角速度 $ω = v / r$ は，半径が3分の1になるので9倍になります．運動エネルギーは9倍になり，増えた分は手の仕事です．

**［図：糸を引く前と後］**
板の上で糸に引かれる小球の真上からの図を，引く前（半径が大きい）と引いた後（半径が小さい）に並べて描く．後のほうの速度の矢印を長くする．

面積速度

中心力のもとでは円でなくても $L$ が一定です．微小時間 $d t$ に位置ベクトルが掃く三角形の面積は $d A = \frac{1}{2} (x d y - y d x)$ なので， $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m}$ です．

ポイント面積速度一定

中心力だけを受ける質点では，位置ベクトルが単位時間に掃く面積（面積速度）が一定である．

惑星が太陽から受ける万有引力は中心力です．惑星と太陽を結ぶ線分が等しい時間に等しい面積を掃く，というケプラーの第2法則は，この結果の特別な場合です．第10章の万有引力と天体で詳しく扱います．

質点系の角運動量

質点が $n$ 個あるときは，O のまわりの角運動量を足します． $L = \sum_{i} r_{i} \times p_{i}$ です． $i$ 番目の質点に働く力を，外力 $F_{i}$ とほかの質点 $j$ から受ける力 $f_{i j}$ に分けると

\frac{d L}{d t} = \sum_{i} r_{i} \times F_{i} + \sum_{i \neq j} r_{i} \times f_{i j}

です．内力は対にして足します． $f_{j i} = - f_{i j}$ なので

r_{i} \times f_{i j} + r_{j} \times f_{j i} = (r_{i} - r_{j}) \times f_{i j}

です．内力が2つの質点を結ぶ直線の上を向くなら， $r_{i} - r_{j}$ と $f_{i j}$ は平行で，外積は $0$ です．重力や電気力はこの形です．

法則質点系の角運動量

内力が質点どうしを結ぶ直線の向きなら，内力のトルクは打ち消し合い

\frac{d L}{d t} = \sum_{i} r_{i} \times F_{i}

となる．外力のトルクの和が $0$ なら，全角運動量は保存する．

スケーターの腕を引き寄せる力は，体の内部の筋肉の力，つまり内力です．内力は全体の角運動量を変えません．氷の摩擦によるトルクは小さいので，全角運動量はほぼ一定です．体と腕が共通の角速度 $ω$ で回っているとすると，各部分の速さは $r_{i} ω$ で，全角運動量は $L = \sum m_{i} r_{i}^{2} ω$ です．腕が体の軸に近づくと，腕の各部分の軸からの距離 $r_{i}$ が小さくなり， $\sum m_{i} r_{i}^{2}$ が減ります． $L$ を一定に保つには，共通の角速度 $ω$ が増えるしかありません．各部分の $m_{i} r_{i} v_{i}$ が個別に保存するわけではなく，保存するのは全体の和です．詳しくは次の節以降で，慣性モーメントを使って確かめます．

ポイントここまでのまとめ

角運動量 $L = r \times p$ とトルク $τ = r \times F$ は，原点を決めてはじめて決まる．
運動方程式から $\frac{d L}{d t} = τ$ が出る．トルクが $0$ なら $L$ は保存する．
中心力ではトルクが $0$ ．角運動量が保存し，面積速度が一定になる（ケプラーの第2法則）．
質点系では，内力が質点を結ぶ直線の向きなら内力のトルクは打ち消し合い，外力のトルクだけが全角運動量を変える．
問いの答え：外力のトルクがほぼ無く，腕の力は内力なので，全角運動量が保たれる．腕を引き寄せて $r$ が小さくなった分，回転が速くなる．