回転と剛体

外積

著者：柚木芹香

前の節で先に使った外積を，この節で定義し，その微分を導きます．

定理数学の道具：外積

定義　空間のベクトル $a$ ， $b$ の外積 $a \times b$ は，次のベクトルである．

大きさは $| a | | b | \sin θ$ （ $θ$ は2つのなす角， $0 \leq θ \leq π$ ）． $a$ ， $b$ を2辺とする平行四辺形の面積に等しい．
向きは $a$ にも $b$ にも垂直で， $a$ から $b$ へ右ねじを回すとき，ねじの進む向き．

**［図：外積と平行四辺形］**
右手座標系で，xy 平面上の \vec{a}，\vec{b} と平行四辺形に斜線を引く．\vec{a}\times\vec{b} を垂直な矢印で描き，右ねじの回転を曲線の矢印で添える．

成分表示

a \times b = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})

x，y，z を順に回して覚える．xy 平面内のベクトルでは z 成分 $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ だけが残り，これが前の節の $L = x p_{y} - y p_{x}$ である．

性質　 $b \times a = - a \times b$ ．平行なベクトルの外積は $0$ ．和と実数倍は普通に分配できる．

外積の微分　積の微分と同じ形で，順序を保って

\frac{d}{d t} (a \times b) = \dot{a} \times b + a \times \dot{b}

である． $L = r \times p$ に使うと， $v \times m v = 0$ と $\dot{p} = F$ から

\frac{d L}{d t} = v \times m v + r \times \dot{p} = r \times F = τ

となる．前の節の結果の導出である．

練習 1．

$a = (1, 2, 0)$ ， $b = (3, - 1, 0)$ のとき， $a \times b$ と，2つを2辺とする平行四辺形の面積を求めよ．
$a = (2, 0, 1)$ ， $b = (0, 3, 0)$ の外積を求め， $a$ に垂直なことを確かめよ．

答え：(1) $a \times b = (0, 0, 1 \times (- 1) - 2 \times 3) = (0, 0, - 7)$ ．面積は $7$ ．(2) $(0 \times 0 - 1 \times 3, 1 \times 0 - 2 \times 0, 2 \times 3 - 0 \times 0) = (- 3, 0, 6)$ ． $a$ との内積は $2 \times (- 3) + 1 \times 6 = 0$ で，垂直である．

練習 2． (1) $e_{x} \times e_{y}$ ， $e_{y} \times e_{x}$ ， $a \times a$ を求めよ．(2) 位置 $r = (2.0, 0, 0) m$ ，運動量 $p = (0, 3.0, 0) kg m s^{- 1}$ の質点の $r \times p$ を求めよ．(3) $a = (1, 1, 0)$ ， $b = (1, - 1, 0)$ の外積と，2つを2辺とする平行四辺形の面積を求めよ．

答え：(1) $e_{z}$ ， $- e_{z}$ ， $0$ ．(2) $(0, 0, 2.0 \times 3.0 - 0) = (0, 0, 6.0) kg m^{2} s^{- 1}$ ．(3) $(0, 0, 1 \times (- 1) - 1 \times 1) = (0, 0, - 2)$ ，面積は $2$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $0.50 kg$ の質点が，原点 O を中心とする半径 $2.0 m$ の円周上を，反時計回りに速さ $3.0 m s^{- 1}$ で等速円運動している．

**［図：円周上の二つの位置］**
原点を中心とする円と，円上の2点 (2.0,\,0)，(0,\,2.0) での位置ベクトルと速度の矢印を描く．

質点が $(2.0, 0) m$ にあるときと $(0, 2.0) m$ にあるときの，O のまわりの角運動量の z 成分を求めよ．
質点に速度と同じ向きの一定の力 $1.5 N$ を加え始めた．O のまわりのトルクと，角運動量の変化の割合を求めよ．
力を加え始めて $2.0 s$ 後の速さを，角運動量から求めよ．ただし，この間も質点は同じ円周上を動くものとする．

解答を見る

考え方 外積の z 成分 $x p_{y} - y p_{x}$ を使う．円運動では速度が位置ベクトルに垂直．

$(2.0, 0)$ では $p = (0, 1.5) kg m s^{- 1}$ なので $L = 2.0 \times 1.5 - 0 = 3.0 kg m^{2} s^{- 1}$ ． $(0, 2.0)$ では $p = (- 1.5, 0)$ なので $L = 0 - 2.0 \times (- 1.5) = 3.0 kg m^{2} s^{- 1}$ ．どちらも $m r v$ に等しい．
力は接線方向なので，トルクは $τ = r F = 2.0 \times 1.5 = 3.0 N m$ ．よって $\frac{d L}{d t} = τ = 3.0 kg m^{2} s^{- 2}$ ．
一定のトルクなので $L = 3.0 + 3.0 \times 2.0 = 9.0 kg m^{2} s^{- 1}$ ． $L = m r v$ より $v = \frac{9.0}{0.50 \times 2.0} = 9.0 m s^{- 1}$ ．運動方程式 $v = 3.0 + \frac{1.5}{0.50} \times 2.0 = 9.0 m s^{- 1}$ とも一致する．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平の板に穴があり，質量 $0.20 kg$ の小球が，穴を通した糸の先につながれている．初め，小球は穴を中心とする半径 $0.60 m$ の円周上を速さ $1.2 m s^{- 1}$ で等速円運動している．糸をゆっくり引いて，半径を $0.20 m$ にした．

**［図：穴を通る糸と二つの半径］**
板を真上から見て，初めの円と引いた後の円を同心円で描く．糸は穴へ向かい，手が下に引く向きを添える．

引いた後の小球の速さと角速度を求めよ．
引く前と後の糸の張力を求めよ．
運動エネルギーの増加と，その由来を答えよ．

解答を見る

考え方 糸の力は穴を向く中心力なので，穴のまわりの角運動量が保存する．張力は向心力として円運動の式から求める．

$m r v$ が一定なので $0.60 \times 1.2 = 0.20 v$ ． $v = 3.6 m s^{- 1}$ ．角速度は，初め $1.2 / 0.60 = 2.0 rad s^{- 1}$ ，後は $3.6 / 0.20 = 18 rad s^{- 1}$ ．
$T = m v^{2} / r$ より，初めは $\frac{0.20 \times {1.2}^{2}}{0.60} = 0.48 N$ ，後は $\frac{0.20 \times {3.6}^{2}}{0.20} \approx 13 N$ ．
運動エネルギーは，初め $\frac{1}{2} \times 0.20 \times {1.2}^{2} = 0.144 J$ ，後は $\frac{1}{2} \times 0.20 \times {3.6}^{2} = 1.296 J$ ．増加は約 $1.15 J$ ．

増えた分は，糸を引いた手がした仕事である．

ポイントここまでのまとめ

外積 $a \times b$ は，大きさ $| a | | b | \sin θ$ （平行四辺形の面積），向きは $a$ から $b$ への右ねじの向き．成分は $(a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$ ．
順序を入れ替えると符号が変わり，平行なら $0$ ．xy 平面内なら z 成分 $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ だけが残る．
外積の微分は，積の微分の形で順序を保つ．これで $\frac{d L}{d t} = r \times F$ が出る．
円運動では $L = m r v$ ．中心力で半径が変わるときは，速度の接線成分 $v_{⟂}$ を使った $L = m r v_{⟂}$ が一定．