角運動量とトルクの演習

考え方 角運動量は軌道の形でなく，選んだ原点からの位置と運動量の外積で決まる．紙面から手前を正の $z$ 方向とする．

1. 質点が $(x,b)$ にあるとき，$\mathit{r}=(x,b,0)$，$\mathit{p}=(mu,0,0)$ なので $\mathit{L}=(0,0,-mbu)$．向きは紙面の奥である．$x$ は式に残らず，質点がOから遠ざかっても角運動量は変わらない．運動量の作用線からOまでの垂直距離が常に $b$ だからである．

2. Aからの位置は $(x,0,0)$ で，運動量と平行なので ${\mathit{L}}_{\mathrm{A}}=\mathit{0}$．同じ運動でも原点を変えると値が変わる．円運動することは角運動量を持つための必要条件ではなく，原点を通らない直線運動も反例になる．どちらの原点についても外力のトルクは0であり，それぞれの角運動量が保存することに矛盾はない．

考え方 外積の $z$ 成分を符号付きで計算し，$\frac{\mathrm{d}\mathit{L}}{\mathrm{d}t}=\mathit{\tau }$ と比べる．力の大きさだけから回転への効果を判断しない．

1. 運動量は $(2.0,6.0,0)\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．したがって $L_z=2.0\times 6.0-1.0\times 2.0=10\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ で，$\mathit{L}$ は正の $z$ 方向である．一方，${\tau }_z=2.0\times (-2.0)-1.0\times 4.0=-8.0\mathrm{N}\mathrm{m}$ だから，$\mathit{\tau }$ は負の $z$ 方向である．

2. この瞬間には $L_z>0$ かつ $\frac{\mathrm{d}{L}_z}{\mathrm{d}t}<0$ なので，大きさは減っている．これは瞬間についての結論であり，後のトルクまで一定と仮定したものではない．力を $\mathit{F}=c\mathit{r}$ に置き換えれば $\mathit{r}\times \mathit{F}=\mathit{0}$ となり，その瞬間の角運動量の変化率は0になる．中心へ向かう $c<0$ の場合も同じである．

考え方 一般の軌道では $L=mrv$ とせず，速度の半径に垂直な成分を使う．面積速度は一定だが，角速度は一定ではない．

1. Aで $L=mrv\sin {30}^{\circ }=mrv/2$．Bでは $L=m(2r)v_B$ なので $v_B=v/4$．面積速度は $L/(2m)=rv/4$ である．中心力の具体的な距離依存性を知らなくても，この結果は決まる．エネルギー保存だけでは，力の位置エネルギーが不明なので速さの関係を求められない．

2. 微小時間では $\mathrm{\Delta }A=\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{\Delta }{\theta }_A$，$\mathrm{\Delta }A=\frac{1}{2}(2r{)}^2\mathrm{\Delta }{\theta }_B$ と書ける．よって $\mathrm{\Delta }{\theta }_A:\mathrm{\Delta }{\theta }_B=4:1$．厳密には $\mathrm{\Delta }t\to 0$ の極限での比であり，有限時間に距離が大きく変わるなら積分が必要である．同じ面積を遠方では小さい角度で掃く，という幾何学的な意味も持つ．

考え方 各質点の角運動量を足してから原点を変える．全運動量が0なら，原点移動に伴う補正が消える．

1. $\mathit{P}=m(0,u,0)+m(0,-u,0)=\mathit{0}$．それぞれの角運動量の $z$ 成分は $amu$ と $(-a)(-mu)=amu$ なので，${\mathit{L}}_{\mathrm{O}}=(0,0,2amu)$．全運動量が0でも，角運動量は打ち消し合わない．

2. $\mathit{R}=(b,c,0)$ とすると ${\mathit{L}}_{\mathrm{B}}=\sum ({\mathit{r}}_i-\mathit{R})\times {\mathit{p}}_i={\mathit{L}}_{\mathrm{O}}-\mathit{R}\times \mathit{P}={\mathit{L}}_{\mathrm{O}}$．内力の合力は0で，全運動量は以後も0である．さらに内力のトルクの和は $({\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2)\times {\mathit{f}}_{12}=\mathit{0}$ なので，どちらの固定点でも全角運動量は保存する．単に作用反作用で大きさが等しいだけでなく，内力が2点を結ぶ方向にあることを使っている．