回転と剛体

剛体のつり合い

著者：柚木芹香

問い

なめらかな壁に，一様なはしごを立てかけます．はしごの下端は床の上にあり，床との間には摩擦があります．はしごを壁に立てかけて手を離すと，立てた角度が大きいうちは立ったままですが，床との角度を小さくして寝かせていくと，あるところで下端が滑り出します．どこまで寝かせると滑るのでしょうか．床の摩擦が大きいほど，その角度はどう変わるでしょうか．

考えてみる

はしごを1つの質点とみて，第4章の力のつり合いを試します．はしごには重力 $W$ ，床からの垂直抗力 $N_{1}$ ，床の摩擦力 $f$ ，壁からの垂直抗力 $N_{2}$ （壁はなめらかなので壁に垂直）が働きます．水平方向と鉛直方向のつり合いは

f = N_{2}, N_{1} = W

です．ここから $N_{1}$ は分かりますが， $f$ （と $N_{2}$ ）の値は決まりません．滑らない条件は $f \leq μ N_{1} = μ W$ なので， $f$ が分からなければ角度の限界も出ません．

足りないのは「はしごが回転しない」という条件です．はしごは大きさのある物体で，力が働く位置によって回り方が変わります．同じ力でも，てこやドアの取っ手のように，回転軸から遠い所に加えるほど回す効果が大きくなります．この「回す効果」を表す量が，この節の主役です．

剛体と力のモーメント

力を加えても変形しない理想の物体を剛体といいます．剛体では，力を作用線（力の向きに延ばした直線）の上で動かしても，効果は変わりません．押す力も引く力も，同じ直線上のどこで加えても同じ効果です．

力が回す効果を表すのが，力のモーメントです．角運動量の節のトルクを，平面で表したものです．

定義力のモーメント

平面上の点 O のまわりの，位置 $(x, y)$ に働く力 $(F_{x}, F_{y})$ のモーメントを

N_{O} = x F_{y} - y F_{x}

で定める．O から力の作用線までの垂直な距離（腕の長さ）を $d$ とすると，大きさは $d F$ ．反時計回りに回す向きを正とする．単位は $N m$ ．

垂直抗力の $N$ と区別するため，モーメントは必ず点を添えて $N_{O}$ と書きます．腕の長さを使うと，力 $F$ が点Oから距離 $r$ の所に， $r$ と角 $φ$ をなして加わるとき $d = r \sin φ$ です．

**［図：力の作用線と腕の長さ］**
棒の一端 O を軸とし，棒の途中に斜めの力 F が加わる図を描く．作用線を点線で延ばし，O から作用線に下ろした垂線（腕の長さ d）を示す．

つり合いの条件

法則剛体のつり合い

剛体が静止し続けるためには，次の2つが必要である．

\sum F = 0, \sum N_{O} = 0

前者は並進しない条件，後者は回転しない条件である．点 O はどこにとってもよい．

平面では，力の成分が2つとモーメントが1つなので，式は3本です．点Oはどこにとっても結果が変わりません（理由は次の節で証明します）．そこで，未知の力が多く通る点を選びます．その点を通る力はモーメントが0なので，式から消えます．

重力は剛体のすべての部分に働きますが，一様な重力のもとでは，その全体を重心に働く1本の力 $W = M g$ として扱えます．重力のモーメントの和は，重心に全質量が集まったときと等しくなるからです．

特別な組として，大きさが同じで逆向きの2力で作用線が離れているものを偶力といいます．合力は $0$ ですが，モーメントが残るので物体は回ります．大きさは力と作用線の間隔の積で，点Oの選び方によりません．ペットボトルのふたを両手の指で回すとき， $5 N$ ずつを $6 cm$ 離れて加えれば，モーメントは $5 \times 0.06 = 0.30 N m$ です．

**［図：合力がゼロの偶力］**
円板（ふた）の上面図に，中心をはさんで逆向きの2力を描く．2つの作用線の間隔を d として示す．

はしごの問題を解く

長さ $l$ ，重さ $W$ の一様なはしごが，床と角 $θ$ をなして，右側の壁に立てかけてあるとします．壁はなめらかで，床との静止摩擦係数は $μ$ です．下端を A，上端を B とします．力は A に $N_{1}$ （上向き）と $f$ （摩擦，壁の向き），B に $N_{2}$ （壁から離れる向きに水平），重心に $W$ （下向き）です．

**［図：はしごに働く力］**
壁に立てかけたはしごと床の側面図．下端 A に N_1 と f，上端 B に壁からの水平な N_2，重心に W を描く．床との角 \theta と，A から W の作用線までの水平距離 \dfrac{l}{2}\cos\theta を示す．

並進のつり合いは，先ほどと同じ $f = N_{2}$ ， $N_{1} = W$ です．回転のつり合いは，A のまわりで考えます．未知の $N_{1}$ と $f$ は A を通るので，モーメントが0で式に出ません． $N_{2}$ の腕の長さは B の高さ $l \sin θ$ ， $W$ の腕の長さは $\frac{l}{2} \cos θ$ です． $W$ のモーメントは時計回り， $N_{2}$ のモーメントは反時計回りなので，和が0という式は

N_{2} l \sin θ = W \frac{l}{2} \cos θ ⟹ N_{2} = \frac{W}{2 \tan θ}

です．したがって $f = N_{2} = \frac{W}{2 \tan θ}$ ．角度が小さいほど，滑らないために必要な摩擦力は大きくなります．滑らない条件 $f \leq μ N_{1} = μ W$ に入れると

\frac{W}{2 \tan θ} \leq μ W ⟹ \tan θ \geq \frac{1}{2 μ}

です．

$μ = 0.50$ なら $\tan θ \geq 1$ で $θ \geq 45^{\circ}$ ， $μ = 0.30$ なら $θ \geq 59^{\circ}$ です．

ポイントここまでのまとめ

剛体のつり合いは，力の和が $0$ であること（並進しない）と，どの点のまわりでも力のモーメントの和が0であること（回転しない）の2つ．
力のモーメントは $N_{O} = x F_{y} - y F_{x} = \pm d F$ （反時計回りを正， $d$ は腕の長さ）．力は作用線の上で動かしても効果が変わらない．重力は重心に働くとみてよい．
モーメントの点は，未知の力が多く通る点を選ぶと式が簡単になる．
問いの答え：床の摩擦力は $f = \frac{W}{2 \tan θ}$ 必要で， $\tan θ \geq \frac{1}{2 μ}$ のとき滑らない． $μ$ が大きいほど，より寝かせても滑らない．