回転と剛体

モーメントの計算と点の選び方

著者：柚木芹香

モーメントの符号と点の選び方を整理して，例題でつり合いの式を立てます．

定理数学の道具：モーメントの計算

計算の手順　点 O を原点にとり，位置 $(x, y)$ に働く力 $(F_{x}, F_{y})$ のモーメントは

N_{O} = x F_{y} - y F_{x}

である．反時計回りが正，時計回りが負．腕の長さ $d$ を使うときは，回る向きを見て $\pm d F$ とする．作用線が O を通れば $d = 0$ でモーメントは0．

点の選び方は自由　力の和が $0$ のとき，点 O のまわりのモーメントの和と，別の点 $O^{'}$ （座標 $(a, b)$ ）のまわりの和は等しい．

証明． $O^{'}$ を原点としたときの座標は $(x_{i} - a, y_{i} - b)$ なので

\sum N_{O^{'}} = \sum [(x_{i} - a) F_{i y} - (y_{i} - b) F_{i x}] = \sum N_{O} - a \sum F_{i y} + b \sum F_{i x}

$\sum F = 0$ なら，右辺の第2項と第3項が0になって $\sum N_{O^{'}} = \sum N_{O}$ ．よって $\sum N_{O} = 0$ なら，どの点のまわりでも 0 である．

練習 1．

点 $(3, 0) m$ に力 $(0, 5) N$ が働くとき，原点のまわりのモーメントを求めよ．
点 $(0, 2) m$ に力 $(4, 0) N$ が働くとき，原点のまわりのモーメントを求めよ．

答え：(1) $3 \times 5 - 0 \times 0 = 15 N m$ （反時計回り）．(2) $0 \times 0 - 2 \times 4 = - 8 N m$ （時計回り）．

練習 2． 原点のまわりのモーメントを求めよ．(1) 点 $(2, 1) m$ に力 $(3, 4) N$ ．(2) 点 $(- 0.50, 0) m$ に力 $(0, - 10) N$ ．(3) 点 $(1, 0) m$ に $(0, 5) N$ ，点 $(- 1, 0) m$ に $(0, - 5) N$ （合力0の偶力）．

答え：(1) $2 \times 4 - 1 \times 3 = 5 N m$ ．(2) $(- 0.50) \times (- 10) - 0 = 5.0 N m$ （反時計回り）．(3) $5 + 5 = 10 N m$ ．偶力のモーメントは，どの点のまわりでも同じになる．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $4.0 m$ ，質量 $10 kg$ の一様な板を，左端から $1.5 m$ の位置の支点 P にのせ，シーソーにした．左端に質量 $30 kg$ の子が座り，右端に質量 $m$ の子が座って，板が水平につり合った．重力加速度を $g$ とする．

**［図：支点が中央にないシーソー］**
水平な板，支点 P，左端の子と右端の子を描き，左端から支点までの距離と板の長さを寸法線で示す．

$m$ を求めよ．
支点が板に及ぼす力を求めよ．また，左端のまわりでも確かめよ．

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考え方 回転しない条件は，未知の力（支点の力）が通る P のまわりで立てる．

P のまわりで，子A（左，距離 $1.5 m$ ）は反時計回り，板の重心（右へ $0.50 m$ ）と子B（右へ $2.5 m$ ）は時計回りにモーメントをもつ．

30 g \times 1.5 = 10 g \times 0.50 + m g \times 2.5

より $45 = 5 + 2.5 m$ ， $m = 16 kg$ ．

鉛直方向のつり合いから，支点の力は $(30 + 10 + 16) g = 56 g \approx 5.5 \times 10^{2} N$ （上向き）．左端のまわりでは $56 g \times 1.5 = 84 g$ と $10 g \times 2.0 + 16 g \times 4.0 = 84 g$ が等しく，つり合う．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

質量 $4.0 kg$ ，長さ $l$ の一様な棒の一端 O が，壁にちょうつがいで取り付けてある（ちょうつがいは自由に回り，力を及ぼす）．棒は水平で，他端 B に質量 $2.0 kg$ のおもりをつるし，B を壁の上の点と糸で結んだところ，糸は水平と $30^{\circ}$ の角をなした． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

**［図：糸とちょうつがいで支える棒］**
壁，水平な棒，端 B のおもり，B から壁へ斜め上に伸びる糸（30^{\circ}）を描く．ちょうつがい O に向きが未知の力を点線の矢印で示す．

糸の張力を求めよ．
ちょうつがいが棒に及ぼす力の水平成分と鉛直成分を求めよ．
糸が耐えられる張力が $100 N$ までのとき，つるせるおもりの質量の最大値を求めよ．

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考え方 O のまわりでモーメントを立てると，ちょうつがいの力が式から消える．張力は成分に分けて使う．

O のまわりで，張力の鉛直成分 $T \sin 30^{\circ}$ （腕 $l$ ）は反時計回り，棒の重力（腕 $l / 2$ ）とおもりの重力（腕 $l$ ）は時計回りである．

T \sin 30^{\circ} \times l = 4.0 g \times \frac{l}{2} + 2.0 g \times l

より $0.50 T = 4.0 g$ ， $T = 8.0 g \approx 78 N$ ． $l$ は消える．

水平方向：張力の壁に向かう成分 $T \cos 30^{\circ}$ を打ち消すため，ちょうつがいの力は $H = T \cos 30^{\circ} \approx 68 N$ （壁から離れる向き）．鉛直方向： $V + T \sin 30^{\circ} = (4.0 + 2.0) g$ より $V = 2.0 g \approx 20 N$ （上向き）．
おもりを $M$ とすると，O のまわりで $0.50 T = (2.0 + M) g$ ． $T = 100 N$ で $2.0 + M = \frac{50}{9.8} \approx 5.1$ ． $M \approx 3.1 kg$ ．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

長さ $5.0 m$ ，質量 $10 kg$ の一様なはしごを，なめらかな壁に床と $60^{\circ}$ の角で立てかけた．床との静止摩擦係数は $0.40$ である．質量 $60 kg$ の人がはしごに沿って登る．

**［図：人が登るはしご］**
壁に立てかけたはしごと，下端から s の位置の人を描き，床と壁からの力，はしごと人の重力を示す．

人が下端から $s$ の位置まで登ったとき，壁からの垂直抗力 $N_{2}$ を求めよ．
はしごが滑らずに人が登れる最大の $s$ を求めよ．
人がはしごの上端まで登っても滑らないためには，静止摩擦係数がいくら以上であればよいか．

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考え方 下端 A のまわりでモーメントを立てると，床からの力が消える．滑る限界は $f = μ N_{1}$ ．

鉛直方向： $N_{1} = (10 + 60) g = 70 g$ ．水平方向： $f = N_{2}$ ．A のまわりの腕の長さは， $N_{2}$ が $5.0 \sin 60^{\circ}$ ，はしごの重力が $2.5 \cos 60^{\circ}$ ，人の重力が $s \cos 60^{\circ}$ ．

N_{2} \times 5.0 \sin 60^{\circ} = (10 g \times 2.5 + 60 g \times s) \cos 60^{\circ}

より $N_{2} = \frac{(25 + 60 s) g}{5.0 \tan 60^{\circ}}$ ．

滑らない条件 $f = N_{2} \leq 0.40 N_{1} = 28 g$ に入れると， $25 + 60 s \leq 28 \times 5.0 \times \sqrt{3} \approx 242$ ．よって $s \leq 3.6 m$ （はしごの長さの約0.7倍）．
$s = 5.0 m$ とすると $N_{2} = \frac{(25 + 300) g}{5.0 \sqrt{3}} \approx 37.5 g$ ． $37.5 g \leq μ \times 70 g$ より $μ \geq 0.54$ ．

ポイントここまでのまとめ

モーメントは $N_{O} = x F_{y} - y F_{x}$ （反時計回りが正）．腕の長さを使うときは回る向きで符号を決める．
合力が $0$ なら，モーメントの和は点の選び方によらない．
未知の力が多く通る点（支点，ちょうつがい，はしごの下端）を選ぶと，式が簡単になる．