剛体のつり合いの演習

考え方 棒に沿う成分はOを通るので回す効果がない．棒に垂直な成分に，Oから作用点までの距離を掛ける．

1. 鉛直成分は $20\sin {30}^{\circ }=10\mathrm{N}$．したがって $N_{\mathrm{O}}=0.30\times 10=3.0\mathrm{N}\mathrm{m}$ である．正の値は棒を反時計回りに回す向きであることを示す．力の大きさ20をそのまま掛けると，棒に沿う成分まで数えてしまう．

2. 棒に垂直な上向きまたは下向きの力なら，腕が最大の $0.30\mathrm{m}$ となり，大きさは $6.0\mathrm{N}\mathrm{m}$．作用線上の移動 $\mathrm{\Delta }\mathit{r}$ は力と平行なので，トルクの変化 $\mathrm{\Delta }\mathit{r}\times \mathit{F}$ は0である．棒に沿って作用点を動かす操作とは異なり，移動先でも力の作用線を同じに保つことが条件である．

考え方 Aのまわりでモーメントをとれば $N_A$ が消える．残る反力は鉛直方向のつり合いから求める．

1. Aのまわりで $N_{B}l-Mg(l/2)-2Mg(l/4)=0$ だから $N_B=Mg$．合力0より $N_A+N_B=3Mg$ なので $N_A=2Mg$．小物体に近い側の支持点ほど大きな力を受け持つ．

2. 同じ手順で $N_B=Mg/2+2Mgx/l$，$N_A=5Mg/2-2Mgx/l$．両者の和は常に $3Mg$ である．$0\le x\le l$ ではどちらも $Mg/2$ 以上で，上向きの反力だけでつり合える．小物体が端に来ても，板自身の重さが反対側の反力を正に保つ．式から負の反力が出た場合には，下から支えるという条件に反し，その接触を保つ静止状態は存在しないと判断する．

考え方 逆向きの2力の合力は0でも，作用線が離れていれば偶力になる．モーメントの符号は作用点ごとに計算する．

1. 合力は $(F,0)+(-F,0)=\mathit{0}$．上側は $-Fd/2$，下側も $-Fd/2$ なので $\sum N_{\mathrm{O}}=-Fd$ である．どちらの力も時計回りに回すため，モーメントは相殺しない．重心は加速しないが，回転の変化は起こり得る．

2. Aに対する上側の位置は $(-a,d/2-b)$，下側は $(-a,-d/2-b)$．合モーメントは $-(d/2-b)F+(-d/2-b)F=-Fd$ となり，$a,b$ は消える．したがって支点を選び直しても回す効果を消せず，この2力だけで静止し続けることはできない．固定具が静止を保つなら，固定具は別に反対向きのモーメントを及ぼしている．

考え方 床の反力は一点に固定されていない．静止中は分布した接触力の合力の作用点が動き，底面の端まで来ると転倒の限界になる．

1. 鉛直方向で $N=Mg$，水平方向で左向きの摩擦力は $f=F$．底面中央Oのまわりで，摩擦力のモーメントは0である．垂直抗力の作用点を右へ $x$ とすると $Nx-Fy=0$，したがって $x=Fy/(Mg)$．重力はOを通るため，この式に現れない．

2. 摩擦の限界は $F_s=\mu Mg$．転倒の限界は $x=b/2$ から $F_t=Mgb/(2y)$．$\mu <b/(2y)$ なら先に滑り，$\mu >b/(2y)$ なら先に転倒する．等号なら同時に限界へ達する．後者では右下の縁を軸とする重力の復元モーメント $Mgb/2$ と，押す力のモーメント $Fy$ の比較でも同じ結果になる．これは最初に動き出す条件であり，動き出した後の運動を静止の式で追ってはいけない．