回転と剛体

固定軸のまわりの回転

著者：柚木芹香

問い

質量 $M$ ，半径 $R$ の一様な円板と，同じ質量・同じ半径の細い輪があります．どちらも中心を通る固定軸のまわりに，摩擦なく回ることができます．この2つの縁に，同じ接線方向の力を同じ時間だけ加えて回し始めるとします．どちらが速く回り出すでしょうか．

**［図：同じ接線力を受ける円板と輪］**
質量 M，半径 R の円板と細い輪を並べて描く．縁の同じ位置に接線方向の力 F が働いている．

考えてみる

並進運動では，同じ力で動かしたとき，質量が大きいほど加速度が小さくなります（ $F = m a$ ）．回転でも同じ関係がありそうですが，円板と輪は質量が同じです．質量だけで決まるなら，2つは同じ速さで回り出すはずです．

けれども回転には，質量の大きさに加えて，質量の置き場所が効くはずです．その効き方を式で確かめましょう．

回転の運動方程式

軸のまわりを半径 $r$ の円周上で動く，質量 $m$ の質点を考えます．角度 $θ$ を反時計回りに測り，角速度 $ω = \dot{θ}$ ，角加速度を $α = \ddot{θ}$ と書きます．以下では角加速度は $α$ で統一し，単位は $rad s^{- 2}$ です．円周の接線方向の加速度は $r α$ なので，接線方向の力を $F_{t}$ とすると運動方程式は $F_{t} = m r α$ です．両辺に $r$ を掛けると，左辺は軸のまわりのトルク $τ = r F_{t}$ になります．

τ = m r^{2} α

剛体は質点 $m_{i}$ の集まりで，軸からの距離 $r_{i}$ は変わりません．全質点の角加速度 $α$ は共通です．各質点について $τ_{i} = m_{i} r_{i}^{2} α$ を足し合わせます．質点どうしの内力が両者を結ぶ直線の向きなら，そのトルクは作用反作用で互いに打ち消し合います（角運動量の節）．残るのは外力のトルク $τ$ だけです．

定義慣性モーメントと回転の運動方程式

剛体の固定軸のまわりの慣性モーメントを

I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2} = \int r^{2} d m

で定義する．軸のまわりの回転の運動方程式は

I α = τ (α = \ddot{θ})

である． $I$ の単位は $kg m^{2}$ である．

並進の $m a = F$ と並べると，質量 $m$ が $I$ ，加速度 $a$ が $α$ ，力 $F$ が $τ$ に対応します．角運動量の節の $\frac{d L}{d t} = τ$ とも合っています．軸方向の角運動量は $L = \sum m_{i} r_{i}^{2} ω = I ω$ なので，これを $\frac{d L}{d t} = τ$ に入れると $I α = τ$ が出ます．

**［図：固定軸まわりに回る質点の集まり］**
固定軸（紙面に垂直）のまわりを回る剛体を，質点 m_i の集まりとして描く．軸から各質点までの距離 r_i と，角速度 \omega，接線方向の速度の向きを示す．

円板と輪の回転のしやすさ

縁に働く力 $F$ によるトルクは，円板も輪も $τ = F R$ で同じです．質量の分布を足し合わせると，輪は全質量が半径 $R$ にあるので $I_{輪} = M R^{2}$ です．円板は内側の質量が軸に近く，積分すると $I_{円板} = \frac{1}{2} M R^{2}$ （次の節で導きます）です．したがって $α = τ / I$ より，円板の角加速度は輪の2倍です．質量が同じでも，軸に近いほど回しやすいのです．

いろいろな慣性モーメント

一様な物体の慣性モーメントを表にまとめます．

物体	軸	$I$
細い輪（円筒殻）	中心を通り面に垂直	$M R^{2}$
円板（円柱）	中心を通り面に垂直	$\frac{1}{2} M R^{2}$
細い棒（長さ $l$ ）	中心を通り棒に垂直	$\frac{1}{12} M l^{2}$
細い棒（長さ $l$ ）	端を通り棒に垂直	$\frac{1}{3} M l^{2}$
球	中心を通る	$\frac{2}{5} M R^{2}$
薄い球殻	中心を通る	$\frac{2}{3} M R^{2}$

平行軸の定理． 重心を通る軸のまわりの慣性モーメントを $I_{G}$ とすると，それと平行で距離 $d$ 離れた軸のまわりでは

I = I_{G} + M d^{2}

です．重心を原点にとり，各質点の位置を $(x_{i}, y_{i})$ とします．距離 $d$ 離れた軸を $x = d$ に置くと $r_{i}^{2} = (x_{i} - d)^{2} + y_{i}^{2}$ で，

I = \sum m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) - 2 d \sum m_{i} x_{i} + d^{2} \sum m_{i} = I_{G} + M d^{2}

となります．重心が原点なので $\sum m_{i} x_{i} = 0$ だからです．棒の端では $\frac{1}{12} M l^{2} + M {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{3} M l^{2}$ となり，表と一致します．

**［図：重心軸と平行な軸］**
重心 G を通る軸と，距離 d だけ離れた平行な軸を描く．剛体の質点 m_i について，重心軸からの距離と平行軸からの距離を矢印で示す．

回転の運動エネルギー

各質点の速さは $r_{i} ω$ なので，運動エネルギーの総和は

K = \sum \frac{1}{2} m_{i} (r_{i} ω)^{2} = \frac{1}{2} I ω^{2}

です．並進の $\frac{1}{2} m v^{2}$ に対応します． $\frac{d K}{d t} = I ω α = τ ω$ なので，トルクのする仕事は $W = \int τ d θ$ です．

滑車の質量を考える

質量 $M$ ，半径 $R$ の円板の縁に糸を巻き付け，糸の端に質量 $m$ のおもりをつるして静かに放します．糸の他端は円板に固定されていて，おもりが落ちるとともに円板からほどけます．糸は円板の縁の上を滑らず，糸の質量と軸の摩擦は無視します．糸の張力を $T$ ，おもりの加速度を下向きに $a$ とすると，

m g - T = m a, T R = I α = \frac{1}{2} M R^{2} \cdot \frac{a}{R}

です．糸が滑らないので糸の加速度 $a$ と滑車の縁の加速度 $R α$ が等しく， $α = a / R$ と置きました．第2式から $T = \frac{1}{2} M a$ で，第1式に入れると

a = \frac{m}{m + M / 2} g

です．滑車の質量が0なら $a = g$ ，滑車が重いほど $a$ は小さくなります．滑車の質量 $M$ の「半分」が，おもりと一緒に動く質量として加わるのです．糸を滑車に掛けて両側に垂らす装置では，回転を決めるのは両側の張力の差で，次の節で扱います．

実体振り子

水平な固定軸のまわりに揺れる剛体を実体振り子といいます．重心と軸の距離を $d$ とし，鉛直からの角を $θ$ とすると，重力のトルクは $- M g d \sin θ$ です．

I \ddot{θ} = - M g d \sin θ \approx - M g d θ

微小振動では単振動で， $ω_{0}^{2} = \frac{M g d}{I}$ ，周期は $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{M g d}}$ です．ここで $I = I_{G} + M d^{2}$ は軸のまわりの慣性モーメントです．具体的な計算は次の節で行います．

ポイントここまでのまとめ

固定軸のまわりの回転の運動方程式は $I α = τ$ （ $α = \ddot{θ}$ ）．慣性モーメント $I = \sum m_{i} r_{i}^{2} = \int r^{2} d m$ は，軸から遠い質量ほど大きく効く．
回転の運動エネルギーは $\frac{1}{2} I ω^{2}$ ．平行軸の定理は $I = I_{G} + M d^{2}$ ．
糸を巻いた円板におもりをつるすと，円板の質量は加速度を $m / (m + M / 2)$ 倍にする．実体振り子の周期は，微小振動では $2 π \sqrt{I / (M g d)}$ ．
問いの答え：円板のほうが速く回り出す．同じトルクでは $α = τ / I$ で， $I_{円板} = \frac{1}{2} M R^{2}$ は $I_{輪} = M R^{2}$ の半分だから，角加速度は2倍になる．