回転と剛体

慣性モーメントの積分計算と例題

著者：柚木芹香

前の節で表にまとめた慣性モーメントを，積分で確かめます．そのあと，滑車・実体振り子・球の例題に進みます．

数学の道具

定理数学の道具：慣性モーメントの積分

連続した物体の $I = \int r^{2} d m$ は，軸からの距離が同じ微小部分を選んで足す．微小部分の質量 $d m$ を，密度と体積（長さ・面積）で表すのが最初の仕事である．

細い棒（長さ $l$ ，質量 $M$ ，線密度 $λ = M / l$ ）の中心を通り棒に垂直な軸では，中心から $x$ の位置の微小部分 $d m = λ d x$ を足して

I = \int_{- l / 2}^{l / 2} x^{2} \frac{M}{l} d x = \frac{M}{l} \cdot \frac{2}{3} {(\frac{l}{2})}^{3} = \frac{1}{12} M l^{2}

である．

円板（半径 $R$ ，質量 $M$ ，面密度 $σ = M / (π R^{2})$ ）の中心を通り面に垂直な軸では，軸から $r$ の細い輪（幅 $d r$ ）を微小部分に選ぶ．面積は $2 π r d r$ で，距離はどの点も $r$ だから

I = \int_{0}^{R} r^{2} σ 2 π r d r = 2 π σ \frac{R^{4}}{4} = \frac{1}{2} M R^{2}

である．

**［図：積分に使う棒の切片と円板の輪］**
左に棒の微小部分（位置 x，幅 dx），右に円板の細い輪（半径 r，幅 dr）を描く．

練習 1． 長さ $l$ の細い棒の端を通り棒に垂直な軸のまわりの $I$ を，積分で求めよ．また平行軸の定理で確かめよ．

練習 2． 内半径 $a$ ，外半径 $b$ ，質量 $M$ の一様な円環板の，中心を通り面に垂直な軸のまわりの $I$ を求めよ．また $a \to 0$ と $a \to b$ の極限を調べよ．

答え：練習 1 は $\int_{0}^{l} x^{2} \frac{M}{l} d x = \frac{1}{3} M l^{2}$ ．平行軸の定理では $\frac{1}{12} M l^{2} + M {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{3} M l^{2}$ で一致する．練習 2 は $M = σ π (b^{2} - a^{2})$ と $I = \int_{a}^{b} r^{2} σ 2 π r d r = \frac{π σ}{2} (b^{4} - a^{4})$ から $I = \frac{1}{2} M (a^{2} + b^{2})$ ． $a \to 0$ で円板の $\frac{1}{2} M b^{2}$ ， $a \to b$ で輪の $M b^{2}$ になる．

練習 3． (1) 軸から $0.10 m$ に $1.0 kg$ ， $0.20 m$ に $2.0 kg$ の小球を固定した軽い棒の $I$ を求めよ．(2) 質量 $2.0 kg$ ，半径 $0.10 m$ の一様な円板の，ふちの1点を通り面に垂直な軸のまわりの $I$ を，平行軸の定理で求めよ．

答え：(1) $1.0 \times {0.10}^{2} + 2.0 \times {0.20}^{2} = 0.090 kg m^{2}$ ．(2) $\frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2} \times 2.0 \times {0.10}^{2} = 0.030 kg m^{2}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $M = 2.0 kg$ ，半径 $R$ の一様な円板の滑車に軽い糸を掛け，両端に質量 $m_{1} = 3.0 kg$ ， $m_{2} = 1.0 kg$ のおもりをつるして静かに放す．糸は滑車の上を滑らず，滑車の軸は摩擦なく回る．重力加速度を $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

おもりの加速度の大きさを求めよ．
両側の糸の張力 $T_{1}$ ， $T_{2}$ を求めよ．

**［図：慣性を持つ滑車と二つのおもり］**
円板の滑車に掛けた糸と，右に m_1，左に m_2 のおもり．m_1 が下がる向きに加速度 a，滑車の角加速度 \alpha，糸の張力 T_1，T_2 を示す．

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考え方 おもりそれぞれに運動方程式を立て，滑車には回転の運動方程式を立てる．糸が滑らないので $a = R α$ である．

$m_{1}$ が下がる向きを正とする．

m_{1} g - T_{1} = m_{1} a, T_{2} - m_{2} g = m_{2} a, (T_{1} - T_{2}) R = \frac{1}{2} M R^{2} \cdot \frac{a}{R}

第3式は $T_{1} - T_{2} = \frac{1}{2} M a$ ．第1式と第2式を足すと $(m_{1} - m_{2}) g - (T_{1} - T_{2}) = (m_{1} + m_{2}) a$ なので

a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2} + M / 2} g = \frac{2.0}{5.0} \times 9.8 \approx 3.9 m s^{- 2}

滑車の質量が0なら $a = 4.9 m s^{- 2}$ だったので，滑車の慣性の分だけ遅くなる．

$T_{1} = m_{1} (g - a) = 3.0 \times 5.88 \approx 18 N$ ， $T_{2} = m_{2} (g + a) = 1.0 \times 13.72 \approx 14 N$ である． $T_{1} - T_{2} \approx 3.9 N$ で， $\frac{1}{2} M a = 3.9 N$ と一致する．両側の張力が違うからこそ，滑車が回り出す．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $M$ ，長さ $l = 1.0 m$ の一様な細い棒の一端を，水平な固定軸で支える．棒は軸のまわりに摩擦なく振れる．

微小振動の周期を求めよ．また，同じ周期の単振り子の長さはいくらか．

**［図：棒の実体振り子］**
一端を軸で支えた棒が鉛直から角 \theta だけ傾いた図．重心 G，軸から重心までの距離 d=l/2 と重力 Mg を示す．

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考え方 実体振り子の周期は $T = 2 π \sqrt{I / (M g d)}$ ． $I$ は平行軸の定理で求める．

端のまわりでは $I = \frac{1}{3} M l^{2}$ ， $d = \frac{l}{2}$ だから

T = 2 π \sqrt{\frac{M l^{2} / 3}{M g l / 2}} = 2 π \sqrt{\frac{2 l}{3 g}} = 2 π \sqrt{\frac{2 \times 1.0}{3 \times 9.8}} \approx 1.6 s

長さ $ℓ$ の単振り子の周期 $2 π \sqrt{ℓ / g}$ と比べると， $ℓ = \frac{2}{3} l \approx 0.67 m$ である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ ，半径 $R$ の一様な球について，中心を通る軸のまわりの慣性モーメントを積分で求めよ．

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**［図：球を薄い円板に分割する］**
軸を z 軸とする球を，軸に垂直な薄い円板（高さ z，厚さ dz，半径 \sqrt{R^2-z^2}）に切った図．

考え方 球を軸に垂直な薄い円板に切り，円板の慣性モーメント $\frac{1}{2} d m ρ^{2}$ を足し合わせる．

軸を $z$ 軸とし，高さ $z$ の薄い円板の半径を $ρ = \sqrt{R^{2} - z^{2}}$ ，厚さを $d z$ とする．体積密度は $\frac{3 M}{4 π R^{3}}$ だから，円板の質量は $d m = \frac{3 M}{4 π R^{3}} π ρ^{2} d z = \frac{3 M}{4 R^{3}} (R^{2} - z^{2}) d z$ である．

I = \int \frac{1}{2} ρ^{2} d m = \frac{3 M}{8 R^{3}} \int_{- R}^{R} (R^{2} - z^{2})^{2} d z = \frac{3 M}{8 R^{3}} \cdot \frac{16 R^{5}}{15} = \frac{2}{5} M R^{2}

ここで $\int_{- R}^{R} (R^{4} - 2 R^{2} z^{2} + z^{4}) d z = 2 R^{5} (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) = \frac{16 R^{5}}{15}$ を使った．

ポイントここまでのまとめ

慣性モーメント $I = \int r^{2} d m$ は，軸からの距離が同じ微小部分を選んで足す．棒の中心は $\frac{1}{12} M l^{2}$ ，円板は $\frac{1}{2} M R^{2}$ ，球は $\frac{2}{5} M R^{2}$ ，薄い球殻は $\frac{2}{3} M R^{2}$ ．
滑車の質量は，おもりの加速度に $m_{1} + m_{2} + M / 2$ として効く．両側の張力の差が滑車を回す．
実体振り子の周期は，微小振動では $2 π \sqrt{I / (M g d)}$ ．棒の端で支えると，長さ $\frac{2}{3} l$ の単振り子と同じ周期になる．