回転と剛体

固定軸のまわりの回転の演習

著者：柚木芹香

慣性モーメントを求める前に，どの軸から距離を測るかを確かめてください．回転の運動方程式と仕事の関係を使い分け，同じ結果になるところでは検算しましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

軽い棒の両端に質量 $m$ ， $2 m$ の小球を固定し，それぞれを固定軸Oから距離 $a$ ， $2 a$ の反対側に置く．棒は水平面内で回り，初め静止している．軸のまわりに一定の正のトルク $τ_{0}$ を加える．

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考え方 軸からの距離は2乗して質量を掛ける．一度 $I$ が決まれば，一定トルクは一定角加速度を与える．

$I = m a^{2} + 2 m (2 a)^{2} = 9 m a^{2}$ ．右の小球の寄与は左の8倍である． $I α = τ_{0}$ ， $α = \ddot{θ}$ より $α = τ_{0} / (9 m a^{2})$ ．軸は重心を通っていないが，固定軸の運動方程式はこの軸のまわりの $I$ を用いればよい．
初めの角度を0にとると $ω = α t = τ_{0} t / (9 m a^{2})$ ， $θ = α t^{2} / 2 = τ_{0} t^{2} / (18 m a^{2})$ ．運動エネルギーは $K = I ω^{2} / 2 = τ_{0}^{2} t^{2} / (18 m a^{2})$ ．一定トルクの仕事 $τ_{0} θ$ も同じ値になる．角度を回転数で数えた場合は，1回転を $2 π$ としてラジアンに直してから仕事を計算する．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $M$ ，長さ $l$ の一様な細い棒を，中心Gから $l / 4$ 離れた点Oを通り，棒に垂直な軸で支える．

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考え方 平行軸の定理で足す距離は，必ず重心軸から新しい軸までの距離である．端の軸から任意の軸へ直接同じ式を使わない．

重心まわりでは $I_{G} = M l^{2} / 12$ ．よって $I_{O} = M l^{2} / 12 + M (l / 4)^{2} = 7 M l^{2} / 48$ ．軸が重心から離れるため， $I_{O} > I_{G}$ であり，端の軸の $M l^{2} / 3$ よりは小さい．
同じトルクを $τ$ とすると $α_{O} = 48 τ / (7 M l^{2})$ ， $α_{A} = 3 τ / (M l^{2})$ ．したがって $α_{O} : α_{A} = 16 : 7$ ．慣性モーメントの比の逆数になっている．なお「同じ力」だけではこの比較はできない．軸から力の作用線までの距離が異なればトルクも変わるため，力の大きさと腕の長さを合わせて調べる必要がある．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

慣性モーメント $I$ のはずみ車が，固定軸のまわりを正の角速度 $ω_{0}$ で回る．ブレーキは回転と逆向きに一定の大きさ $τ_{b} > 0$ のトルクを及ぼし，停止した瞬間に外す．

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考え方 停止前に限れば角加速度は負の一定値である．停止後まで同じ式を延長すると逆回転を予測してしまうので，適用する時間範囲を区切る．

$I α = - τ_{b}$ より $ω (t) = ω_{0} - τ_{b} t / I$ ．これが0になる時刻は $t_{s} = I ω_{0} / τ_{b}$ ．角速度は直線的に減るので，回転角は $θ_{s} = (ω_{0} + 0) t_{s} / 2 = I ω_{0}^{2} / (2 τ_{b})$ である．回転数なら $θ_{s} / (2 π)$ となる．
奪ったエネルギーは初めの運動エネルギー $Q = I ω_{0}^{2} / 2$ ．仕事からも $Q = τ_{b} θ_{s}$ と求まる．平均の散逸仕事率は $Q / t_{s} = τ_{b} ω_{0} / 2$ ．瞬間の散逸仕事率は $τ_{b} ω (t)$ なので，停止に近づくほど小さくなる．トルクが一定でも仕事率が一定とは限らない．ブレーキが車にした仕事そのものは負であり，ここでの $Q$ は失われたエネルギーの正の大きさである．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

慣性モーメント $I$ ，半径 $R$ の滑車の軸を固定し，軽く伸びない糸を掛ける．左端に質量 $m$ ，右端に質量 $2 m$ のおもりをつけて静かに放す．糸は滑車上で滑らず，軸の摩擦はない．

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考え方 糸の両側の張力は等しいとは限らない．その差が滑車にトルクを与え，並進と回転を $a = R α$ が結ぶ．

右側の下向き加速度を $a$ とし，左右の張力を $T_{L}, T_{R}$ とする． $T_{L} - m g = m a$ ， $2 m g - T_{R} = 2 m a$ ， $(T_{R} - T_{L}) R = I a / R$ ．足し合わせて $a = m g / (3 m + I / R^{2})$ ．張力は $T_{L} = m (g + a)$ ， $T_{R} = 2 m (g - a)$ となる． $I > 0$ なら $T_{R} - T_{L} = I a / R^{2} > 0$ である．
右が $h$ 下がる間に左は $h$ 上がるので，全位置エネルギーの減少は $m g h$ ．共通の速さを $v$ とすれば $m g h = \frac{1}{2} (3 m) v^{2} + \frac{1}{2} I (v / R)^{2}$ ．よって $v^{2} = 2 m g h / (3 m + I / R^{2}) = 2 a h$ となり一致する．滑車の重心は動かないため，滑車自身の並進エネルギーは加えない． $I \to 0$ なら $a \to g / 3$ で，左右の張力は等しくなる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $M$ ，長さ $l$ の一様な細い棒を，重心から距離 $d (0 < d \leq l / 2)$ の点を通る水平軸で支え，鉛直面内で微小振動させる．重心は軸の下側にある．

周期を $d$ の関数で表せ．
周期を最小にする $d$ と最小周期を求めよ（必要なら $\frac{d}{d d} (\frac{1}{d}) = - \frac{1}{d^{2}}$ を使ってよい）．重心そのものを支えれば周期が最小になる，という考えの誤りを説明せよ．

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考え方 軸を重心に近づけると慣性モーメントだけでなく重力の復元トルクも小さくなる．両方を含む周期の式を最小化する．

$I = M (l^{2} / 12 + d^{2})$ で，回転の運動方程式は $I \ddot{θ} = - M g d \sin θ$ ．微小角で $\sin θ \approx θ$ とすると， $T = 2 π \sqrt{(d + l^{2} / (12 d)) / g}$ である．ここでの周期は微小振幅の極限であり，大きな振幅にそのまま使うことはできない．
根号内の $q (d) = d + l^{2} / (12 d)$ を微分すると $q^{'} (d) = 1 - l^{2} / (12 d^{2})$ ． $d = l / \sqrt{12}$ の前で負，後で正だからここが最小で，許された範囲にも含まれる． $q_{min} = l / \sqrt{3}$ より $T_{min} = 2 π \sqrt{l / (\sqrt{3} g)}$ ． $d \to 0$ では重力の復元トルクが消える一方，慣性モーメントは $M l^{2} / 12$ に残るので周期は発散する． $d = 0$ ではそもそも重力による振り子運動にならない．

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