回転と剛体

剛体の平面運動

著者：柚木芹香

問い

長さ $l$ のはしごを，なめらかな壁に立てかけておいたら，下端が床の上を滑り出し，上端が壁に沿って下がり始めました．はしごが倒れていく途中，はしごの上の各点はどの向きに動いているのでしょうか．とくに，はしごの真ん中の点は，床に着くまでにどんな線を描くでしょうか．

**［図：壁と床に沿って滑るはしご］**
壁と床に沿って滑るはしごを示す模式図．

考えてみる

両端の動きはわかります．上端 A は壁に沿って下へ，下端 B は床に沿って横へ動きます．では真ん中の点 M はどうでしょう．「両端の向きの平均で，斜め下へ」と答えたくなりますが，倒れていくにつれて向きがどう変わるのかは，これだけではわかりません．

はしごを，ある点のまわりに回る物体と見ることもできそうです．けれども下端 B のまわりに回るのなら B は止まっているはずで，上端 A のまわりでも同じことです．はしごは固定軸のまわりに回っているわけではありません．位置を変えながら向きも変える運動を，どう記述すればよいかを考えます．

並進と回転に分ける

どの2点の距離も変わらない物体を剛体といいました．剛体のどの点も1つの平面に平行に動く運動を平面運動といいます．はしごも，床を転がる円板も，平面運動をします．

剛体の中に基準点 $O^{'}$ を1つ選びます．短い時間の間の剛体の動きは，次の2つを続けて行ったものとみなせます．まず，剛体全体を $O^{'}$ と同じだけ平行に動かします（並進）．次に， $O^{'}$ を中心に，ある角だけ回します（回転）．剛体なので，剛体に描いたどの線分も，向きは同じ角だけ変わります．したがって，回転の角速度 $ω$ は剛体に1つだけ決まり，基準点をどこに選んでも同じです．変わるのは並進の部分だけです．

［図：並進と回転への分解］

スライダーの前半で基準点を並進し，後半でその点のまわりに回す．AとBを選び直しても最終配置と回転角は同じになる．初期状態は移動前．

紙面に垂直で手前向きの単位ベクトルを $e_{z}$ とし，反時計回りを正とした角速度 $ω$ を使って，角速度ベクトル $ω = ω e_{z}$ を考えます．向きは回転の向きに右ねじを回したときに進む向きで，角運動量の節の右ねじと同じ約束です． $O^{'}$ から点 P へのベクトルを $r^{'}$ とすると， $r^{'}$ は長さを変えずに角速度 $ω$ で回るので，その変化の速度は $ω \times r^{'}$ です（ $r^{'}$ を反時計回りに90度回して $ω$ 倍したベクトル．次の節で確かめます）．

法則剛体の平面運動の速度と加速度

剛体の基準点 $O^{'}$ の速度を $V$ ，加速度を $A$ ，剛体の角速度を $ω$ （反時計回りが正），角加速度を $α = \dot{ω}$ とする． $O^{'}$ から剛体上の点 P へのベクトルを $r^{'}$ とすると，P の速度と加速度は

v_{P} = V + ω \times r^{'}, a_{P} = A + α e_{z} \times r^{'} - ω^{2} r^{'}

である（ $ω = ω e_{z}$ ）．角速度 $ω$ は，基準点の選び方によらない．

加速度の式は，速度の式を時間で微分すると出ます． $ω \times r^{'}$ の微分は， $ω$ が変わる分の $α e_{z} \times r^{'}$ と， $r^{'}$ が回る分の $ω \times (ω \times r^{'}) = - ω^{2} r^{'}$ の和です．第1項は $O^{'}$ のまわりの円の接線方向の加速度，第2項は $O^{'}$ に向かう向心加速度で，第3章の円運動の $R \ddot{θ}$ と $R {\dot{θ}}^{2}$ と同じものです．

瞬間回転中心

$ω \neq 0$ なら，その瞬間に速度が0になる点がちょうど1つあります． $V + ω \times r^{'} = 0$ を満たす $r^{'}$ は， $V$ に垂直な向きに， $O^{'}$ から距離 $\frac{V}{| ω |}$ の所にあります．この点 I を瞬間回転中心といいます．剛体に固定した平面を広げて考えれば，I は剛体の外にあってもかまいません．I を基準点に選び直すと $V = 0$ なので，各点の速度は $v_{P} = ω \times r_{IP}$ です．その瞬間，剛体全体が I のまわりに角速度 $ω$ で回っているように動きます．

ポイント瞬間回転中心の見つけ方

各点の速度は，I とその点を結ぶ線分に垂直で，大きさは $| ω | \times (I からの距離)$ である．
速度の向きがわかっている2点で，それぞれ速度に垂直な直線を引く．2本の交点が I である．
2本の直線が平行で交わらないときは，その瞬間 $ω = 0$ で，剛体は並進している．

I は固定された軸ではありません．時間がたつと別の場所に移り，I にある剛体の点も，速度は0でも加速度は0とは限りません．ですから「I のまわりのトルクで回転の運動方程式を立ててよいか」は別の問題で，第9章で調べます．

問いのはしごに使ってみます．壁と床の交わる点を原点 O とし，下端 B を $(l \cos θ, 0)$ ，上端 A を $(0, l \sin θ)$ とします．B の速度は水平なので，B を通る鉛直線を引きます．A の速度は鉛直なので，A を通る水平線を引きます．交点 $I = (l \cos θ, l \sin θ)$ が瞬間回転中心で，O，B，I，A は長方形をつくります．真ん中の点 M はこの長方形の中心なので，O と I を結ぶ対角線の中点でもあります．M の速度は IM に垂直，つまり OM に垂直です．しかも OM の長さは対角線の半分 $\frac{l}{2}$ で， $θ$ によりません．

［図：はしごの瞬間回転中心］

初期角は55°．角を変えると瞬間回転中心I，両端と中点の速度方向，中点がたどる円弧を見比べられる．矢印は倒れる向きの速度を表す．

座標でも確かめられます．M は $(\frac{l}{2} \cos θ, \frac{l}{2} \sin θ)$ で，原点からの距離はいつも $\frac{l}{2}$ です．M は O を中心とする半径 $\frac{l}{2}$ の円弧を描きます．一方，M 以外の点は円を描きません．下端から $s$ の点は $((l - s) \cos θ, s \sin θ)$ にあり，半軸の長さが $l - s$ と $s$ の楕円 $\frac{x^{2}}{(l - s)^{2}} + \frac{y^{2}}{s^{2}} = 1$ の一部を描きます．

滑らずに転がる円板では，床に接している点の速度が0です．つまり接点が瞬間回転中心です．これは次の題材「転がり」の出発点になります．

ポイントここまでのまとめ

剛体の平面運動は，基準点の並進と，その点のまわりの回転に分けられる．角速度は基準点の選び方によらない．
各点の速度は $v = V + ω \times r^{'}$ ，加速度は $a = A + α e_{z} \times r^{'} - ω^{2} r^{'}$ （接線の項と向心の項）．
速度が0の点が瞬間回転中心 I．2点の速度に垂直な直線の交点として作図でき，各点の速度は I からの線分に垂直で，I からの距離に比例する．I は固定軸ではない．
問いの答え：はしごの各点は，I（壁と床の角の向かい側の頂点）からの線分に垂直な向きに動く．真ん中の点は，壁と床の交わる点を中心とする半径 $l / 2$ の円弧を描く．
力とトルクで運動を決める話は，次の題材「転がり」と第9章で扱う．