回転と剛体

平面での外積と瞬間回転中心

著者：柚木芹香

前の節の $v = V + ω \times r^{'}$ を手早く計算するために，角速度ベクトルが紙面に垂直なときの外積を成分で確かめます．そのあと，瞬間回転中心を座標で求める方法を用意し，例題に進みます．

定理数学の道具：紙面に垂直なベクトルとの外積

$x y$ 平面内のベクトル $r = (x, y, 0)$ と $e_{z} = (0, 0, 1)$ の外積は，成分の式から

e_{z} \times r = (0 \cdot 0 - 1 \cdot y, 1 \cdot x - 0 \cdot 0, 0) = (- y, x, 0)

である．これは $r$ を反時計回りに90度回したベクトルで，長さは $| r |$ のまま変わらない．したがって $ω \times r = ω e_{z} \times r$ は， $r$ を90度回して $ω$ 倍したベクトルである． $ω < 0$ （時計回り）なら，逆向きになる．

もう一度回すと $e_{z} \times (e_{z} \times r) = (- x, - y, 0) = - r$ で，180度回して元の逆向きになる．前の節の向心の項 $ω \times (ω \times r^{'}) = - ω^{2} r^{'}$ はこれである．

速度の式の導出． $r^{'} = r (\cos φ, \sin φ, 0)$ で $r$ が一定， $\dot{φ} = ω$ なら，合成関数の微分で

{\dot{r}}^{'} = r ω (- \sin φ, \cos φ, 0) = ω e_{z} \times r^{'}

となる．

瞬間回転中心を座標で求める． 基準点 $O^{'}$ の位置 $r_{O^{'}}$ ，速度 $V$ ，角速度 $ω \neq 0$ がわかっているとき， $V + ω e_{z} \times r^{'} = 0$ の両辺に左から $e_{z} \times$ を掛けると $e_{z} \times V - ω r^{'} = 0$ なので

r_{I} = r_{O^{'}} + \frac{e_{z} \times V}{ω}

である．作図で垂線の交点を探すことの計算版である．

練習 1． 反時計回りに $ω = 2.0 rad s^{- 1}$ で回る剛体の基準点 $O^{'}$ が原点にあり，速度は $V = (1.0, 0) m s^{- 1}$ である．点 $(0, 1.0) m$ の速度と，瞬間回転中心の位置を求めよ．

答え： $ω \times r^{'} = 2.0 \times (- 1.0, 0)$ より，速度は $(1.0 - 2.0, 0) = (- 1.0, 0) m s^{- 1}$ ． $e_{z} \times V = (0, 1.0)$ なので， $r_{I} = (0, 0.50) m$ ．I をはさんで， $O^{'}$ と点 $(0, 1.0)$ の速度は逆向きである．

練習 2． 半径 $0.50 m$ の車輪の中心が原点にあり，速度 $V = (2.0, 0) m s^{- 1}$ ，角速度 $ω_{z} = - 4.0 rad s^{- 1}$ （時計回り）である．最上点 $(0, 0.50)$ と最下点 $(0, - 0.50)$ の速度，および瞬間回転中心を求めよ．

答え： $ω_{z} e_{z} \times (0, 0.50) = - 4.0 \times (- 0.50, 0) = (2.0, 0)$ より最上点は $(4.0, 0) m s^{- 1}$ ．最下点は $(2.0, 0) + (- 2.0, 0) = 0$ ． $r_{I} = \frac{e_{z} \times V}{ω_{z}} = \frac{(0, 2.0)}{- 4.0} = (0, - 0.50) m$ で最下点に一致し，滑らずに転がっている．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $5.0 m$ のはしごが，なめらかな鉛直の壁と床にもたれている．ある瞬間，下端 B は壁から $3.0 m$ ，上端 A は床から $4.0 m$ の所にあり，B は壁から離れる向きに一定の速さ $0.60 m s^{- 1}$ で引かれている．壁と床の交点を原点 O，床に沿って壁から離れる向きを $x$ 軸，鉛直上向きを $y$ 軸とする．

瞬間回転中心 I の位置と，はしごの角速度を求めよ．
上端 A と，はしごの真ん中の点 M の速度を求めよ．
上端 A の加速度を求めよ．

**［図：速度を求めるはしごの配置］**
速度を求めるはしごの配置を示す模式図．

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考え方 両端の速度の向きは壁と床で決まるので，垂線の交点で I が求まる．加速度は，B を基準点にして $a = A + α e_{z} \times r^{'} - ω^{2} r^{'}$ を使う．

B を通る鉛直線と A を通る水平線の交点は $I = (3.0, 4.0) m$ ．IB $= 4.0 m$ なので $| ω | = \frac{0.60}{4.0} = 0.15 rad s^{- 1}$ ．B から A へのベクトル $(- 3.0, 4.0)$ は，倒れるにつれて $- x$ の向きへ寝ていくので，回転は反時計回りで $ω = + 0.15 rad s^{- 1}$ である．
B を基準点にし， $e_{z} \times (- 3.0, 4.0) = (- 4.0, - 3.0)$ を使うと

v_{A} = (0.60, 0) + 0.15 \times (- 4.0, - 3.0) = (0, - 0.45) m s^{- 1}

で，A は真下へ $0.45 m s^{- 1}$ ．M へは $r^{'} = (- 1.5, 2.0)$ なので

v_{M} = (0.60, 0) + 0.15 \times (- 2.0, - 1.5) = (0.30, - 0.225) m s^{- 1}

速さは約 $0.38 m s^{- 1}$ （ $= 0.15 \times IM$ ）で，向きは OM に垂直（内積 $1.5 \times 0.30 - 2.0 \times 0.225 = 0$ ）である．

1. と同じく IB は A の高さ $y_{A}$ に等しいので，どの瞬間も $ω = \frac{u}{y_{A}}$ （ $u = 0.60 m s^{- 1}$ ）である．これを微分し， ${\dot{y}}_{A} = - 0.45 m s^{- 1}$ だから

α = - \frac{u {\dot{y}}_{A}}{y_{A}^{2}} = \frac{0.60 \times 0.45}{{4.0}^{2}} \approx 1.69 \times 10^{- 2} rad s^{- 2}

B の加速度は0なので

a_{A} = α (- 4.0, - 3.0) - {0.15}^{2} (- 3.0, 4.0) = (0, - 0.14) m s^{- 2}

$x$ 成分は接線の項と向心の項で打ち消し合い，A は壁に沿って下向きに加速する．B を一定の速さで引いても，A はしだいに速くなる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R$ の円板が，水平な床の上を滑らずに右へ転がっている．中心 G の速度は右向きに一定の $V$ である．滑らないとは，床に接している円板の点の速度が0であることとする．

円板の角速度を求めよ．
時刻 $t = 0$ に床に接していた円周上の点 P は，円板が時計回りに角 $θ$ だけ回ったとき，中心から見て $r^{'} = (- R \sin θ, - R \cos θ)$ の所にある．P の速度と速さを求め，P と接点を結ぶ線分に P の速度が垂直なことを確かめよ．必要なら $1 - \cos θ = 2 \sin^{2} \frac{θ}{2}$ を使ってよい．
接点にある円板の点の加速度を求めよ．

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考え方 中心を基準点にして $v = V + ω \times r^{'}$ を使う．接点の速度が0という条件から $ω$ が決まる．

接点は中心から $r^{'} = (0, - R)$ ． $e_{z} \times (0, - R) = (R, 0)$ なので，接点の速度は $(V + ω R, 0)$ ．これが0だから $ω = - \frac{V}{R}$ ，すなわち時計回りに $\frac{V}{R}$ である．
$e_{z} \times r^{'} = (R \cos θ, - R \sin θ)$ なので

v_{P} = (V, 0) - \frac{V}{R} (R \cos θ, - R \sin θ) = V (1 - \cos θ, \sin θ)

速さは $V \sqrt{2 - 2 \cos θ} = 2 V | \sin \frac{θ}{2} |$ で， $θ = 0$ （接点）で0， $θ = π$ （頂点）で $2 V$ ．接点から P へのベクトルは $r^{'} - (0, - R) = (- R \sin θ, R - R \cos θ)$ で， $v_{P}$ との内積は $- R V \sin θ (1 - \cos θ) + R V (1 - \cos θ) \sin θ = 0$ ．接点が瞬間回転中心である．

P の位置 $(R θ - R \sin θ, R - R \cos θ)$ （中心は $R θ$ 進む）を微分しても同じ速度になる．P が描くこの曲線をサイクロイドという．

$V$ が一定で $α = 0$ なので，向心の項だけが残る． $a = - ω^{2} (0, - R) = (0, \frac{V^{2}}{R})$ ．接点の点は，速度は0でも，上向きに $\frac{V^{2}}{R}$ の加速度をもつ．

ポイントここまでのまとめ

$e_{z} \times (x, y) = (- y, x)$ ：紙面に垂直な角速度との外積は，ベクトルを反時計回りに90度回して $ω$ 倍する．2回回すと $- r$ ．
瞬間回転中心は，2点の速度に垂直な直線の交点（2本が平行なら，その瞬間は並進）．座標では $r_{I} = r_{O^{'}} + \frac{e_{z} \times V}{ω}$ ．
はしごの真ん中の点は円の接線の向きに動き，転がる円板の縁の点はサイクロイドを描いて速さ $2 V | \sin (θ / 2) |$ で動く．
瞬間回転中心にある点は，速度が0でも加速度は0とは限らない（転がる円板の接点は上向きに $V^{2} / R$ ）．