剛体の平面運動の演習

考え方 各点の速度は，重心の速度 $(v,0)$ と時計回りの回転による速度を足したものである．足すのは速さではなくベクトルである．

1. 滑らない条件から角速度の大きさは $\left|\omega \right|=v/R$（時計回りなので $\omega =-v/R$）．頂点の回転による速度は右向き $R\left|\omega \right|=v$ なので，地面から見た速度は $(2v,0)$．接点では回転による速度が左向きなので $(0,0)$ になる．ただし同じ物質点が床に居続けるわけではなく，時間が進むと別の点が接点になる．

2. 右端の回転による速度は $(0,-v)$，左端では $(0,v)$．よって地面から見ると右端は $(v,-v)$，左端は $(v,v)$ で，速さはいずれも $\sqrt{2}v$ である．どちらの速度も，接点Pからその点へ引いた線分と垂直になる．瞬間回転中心という見方でも方向と大きさを確かめられる．

考え方 Aを基準に並進と回転を足す．加速度では向心の項も落とさない．

1. ${\mathit{e}}_z\times (0.30,0.40)=(-0.40,0.30)$ だから，${\mathit{v}}_{\mathrm{B}}=(0.60,0.20)+2.0(-0.40,0.30)=(-0.20,0.80)\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．加速度は ${\mathit{a}}_{\mathrm{B}}=(0.10,-0.20)-1.0(-0.40,0.30)-4.0(0.30,0.40)=(-0.70,-2.1)\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$．

2. ${\mathit{r}}_{\mathrm{AI}}=({\mathit{e}}_z\times \mathit{V})/\omega =(-0.20,0.60)/2.0=(-0.10,0.30)\mathrm{m}$．ここへ速度の式を代入すると $(0.60,0.20)+2.0(-0.30,-0.10)=(0,0)$ になる．$\omega r$ は速度，$\alpha r$ と ${\omega }^{2}r$ はともに加速度の次元である．

考え方 距離一定の条件は，両端の相対速度とABの内積が0という形でも書ける．

1. Bの速度を $(w,0)$ とすると，$(w-u,0)\cdot (3l/5,4l/5)=0$ より $w=u$．速度の式の $y$ 成分でも $0=\omega (3l/5)$ より $\omega =0$．棒はその瞬間に並進しており，$u\ne 0$ なら速度が0の点はなく，有限の瞬間回転中心はない．

2. $\omega =0$ だからCも $(u,0)$ の速度である．両端がレール上にある限り，鉛直方向の間隔 $4l/5$ と棒の長さが一定なので，水平間隔の大きさも $3l/5$ で一定．棒の向きは変わらず，並進を続ける．各点の速度差が0であることは，どの2点の距離も変わらない条件と合う．

考え方 滑らない条件は接触する2物体の速度が等しいこと．ベルトが動く場合，接点の速度は0ではない．

1. ${\mathit{r}}_{\mathrm{GP}}=(0,-R)$ より $v_{\mathrm{P},x}=V+\omega R=U$．したがって $\omega =(U-V)/R$，$\alpha =(B-A)/R$．$\omega <0$ で時計回りである．

2. ${\mathit{v}}_{\mathrm{P}}=(U,0)$，${\mathit{a}}_{\mathrm{P}}=(A,0)+\alpha (R,0)-{\omega }^2(0,-R)=(B,(V-U{)}^2/R)$．物質点は次の瞬間にベルトから上へ離れていくので，鉛直加速度があってよい．接点の位置を追うことと，同じ物質点を追うことは違う．

3. ${\mathit{r}}_{\mathrm{GI}}=(0,V/\omega )=(0,-RV/(V-U))$．$U>0$ ならIは接点より下にある．$U=B=0$ では床上の転がりの式に戻る．$(V-U{)}^2/R$ は加速度の次元であり，$V\to U$ では回転が止まって有限のIはなくなる（$V\ne 0$ の場合）．

考え方 ABの長さが一定である条件を先に書く．連接棒の角速度はクランクの角速度とは違う．

1. Aは $(r\cos \phi ,r\sin \phi )$．$s=\sqrt{L^2-r^2{\sin }^2\phi }>0$ とおくと $x=r\cos \phi +s$．微分して $\dot{x}=-r\mathrm{\Omega }\sin \phi -r^2\mathrm{\Omega }\sin \phi \cos \phi /s$．$\phi =0$ では両項が0で，ピストンの折返点（死点）である．

2. ${\mathit{r}}_{\mathrm{AB}}=(s,-r\sin \phi )$，Aの鉛直速度は $r\mathrm{\Omega }\cos \phi$．Bの鉛直速度が0だから，連接棒の角速度 $\omega =-r\mathrm{\Omega }\cos \phi /s$．$s=\sqrt{{0.30}^2-{0.10}^2\times 3/4}=0.28723\mathrm{m}$ を用いると，$\dot{x}=-2.0336\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx -2.0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，$\omega =-3.4816\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}\approx -3.5\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$．Bは左へ進み，連接棒は時計回りに回る．

3. $\cos \phi =0$ なので $\omega =0$，AとBの速度はともに $(-r\mathrm{\Omega },0)$ で瞬間的に並進する．ただし角加速度は $\alpha =r{\mathrm{\Omega }}^2/\sqrt{L^2-r^2}$ で0ではない．Aの加速度は $(0,-r{\mathrm{\Omega }}^2)$ だから，$a_{\mathrm{B},x}=\alpha r=r^2{\mathrm{\Omega }}^2/\sqrt{L^2-r^2}\approx 14\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$．鉛直成分は $-r{\mathrm{\Omega }}^2+\alpha s=0$．速度0と加速度0，角速度0と角加速度0をそれぞれ区別する．$r\mathrm{\Omega }$ は速度，$r^2{\mathrm{\Omega }}^2/s$ は加速度の次元である．

考え方 速度の差は棒に垂直である．加速度の差には棒に沿う向心成分があるので，速度の条件をそのまま加速度へ置き換えてはいけない．

1. $(w\cos \beta -u,w\sin \beta )\cdot (\cos \beta ,\sin \beta )=0$ より $w=u\cos \beta$．$y$ 成分は $w\sin \beta =\omega l\cos \beta$ なので $\omega =u\sin \beta /l$．

2. Bの加速度を $a(\cos \beta ,\sin \beta )$ とする．Aの加速度は0．加速度の式と棒方向との内積をとると $a=-{\omega }^{2}l=-u^2{\sin }^2\beta /l$．原点へ向かう加速度である．ここで $w=u\cos \beta$ はその瞬間だけの関係なので，$\beta$ が一定だから $\dot{w}=0$ としてはいけない．$u^2/l$ は加速度の次元をもち，$\beta \to 0$ では回転も加速度も0へ近づく．