第7章のまとめ

復元力 $F=-kx$ のとき，運動方程式 $m\ddot{x}=-kx$ の一般解は $x=A\cos (\omega t+\varphi )$．角振動数 $\omega =\sqrt{k/m}$，周期 $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$．振幅 $A$ と初期位相 $\varphi$ は初期条件で決まる．

周期は振幅によらない（等時性）．速度は $-A\omega \sin (\omega t+\varphi )$，加速度は $-{\omega }^{2}x$．力学的エネルギー ${\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2$ は一定である．

単振り子は，小さい振れ（$\sin \theta \approx \theta$）で単振動になり，$T=2\pi \sqrt{L/g}$．ポテンシャルの極小 $x_0$（$U^{″}(x_0)>0$）のまわりの小振動は，近似的に $k=U^{″}(x_0)$ の単振動である．

ばねの並列は $k=k_1+k_2$，直列は ${\displaystyle \frac{1}{k}}={\displaystyle \frac{1}{k_1}}+{\displaystyle \frac{1}{k_2}}$．鉛直ばねや浮かぶ物体では，つり合いの位置から測った変位が単振動になる（断面積 $S$ の円柱が密度 $\rho$ の液体に浮くとき $k=\rho gS$）．

抵抗 $-b\dot{x}$ のとき $\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$（$\gamma ={\displaystyle \frac{b}{2m}}$，${\omega }_0=\sqrt{k/m}$）．$\gamma <{\omega }_0$ は弱減衰 $x=A{e}^{-\gamma t}\cos ({\omega }^{\prime }t+\varphi )$，${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$．$\gamma ={\omega }_0$ は臨界減衰，$\gamma >{\omega }_0$ は過減衰である．

外力 $F_0\cos \omega t$ を加えると，定常振動は外力と同じ $\omega$ で振幅 $A={\displaystyle \frac{f}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\gamma }^2{\omega }^2}}}$（$f=F_0/m$）．弱減衰では $\omega \approx {\omega }_0$ で共鳴し，$\omega ={\omega }_0$ で位相の遅れが $\pi /2$（速度が外力と同位相）になる．Q値は $Q={\omega }_0/2\gamma$（共鳴での振幅と $F_0/k$ の比）である．

入れ替えて同じ形（対称）な2質点の連立方程式は，和と差で独立な方程式に分かれ，係数が正なら単振動になる．すべての質点が同じ角振動数で振動する運動が基準振動で，一般の運動はその重ね合わせである．

質量 $m$ の2質点を，ばね定数 $k$ のばね2本と結合ばね $\kappa$ でつなぐと，同位相は ${\omega }_1=\sqrt{k/m}$，逆位相は ${\omega }_2=\sqrt{(k+2\kappa )/m}$．結合が弱いとき，片方だけ動かすと，エネルギーはほぼ $\pi /({\omega }_2-{\omega }_1)$ かけて他方に移る．